В классе 18 учеников. От администрации города предоставлено 11 путёвок на экскурсию в ботанический сад. Если классный руководитель едет со школьниками, то возможных вариантов сочетаний будет , а если ребята едут одни, то вариантов будет .

В данном случае необходимо вычислить количество сочетаний. Если классный руководитель едет со школьниками, то необходимо выбрать 10 учеников из 18, чтобы заполнить 11 путевок, так как одна путевка уже отдана классному руководителю. Если ребята едут одни, то необходимо выбрать 11 учеников из 18.

Количество сочетаний рассчитывается по формуле:

$$C(n, k) = \frac{n!}{k!(n-k)!}$$, где

• $$n$$ - общее количество элементов,
• $$k$$ - количество элементов, которые нужно выбрать,
• $$!$$ - факториал числа.

1. Если классный руководитель едет со школьниками, то нужно выбрать 10 учеников из 18:

$$C(18, 10) = \frac{18!}{10!(18-10)!} = \frac{18!}{10!8!} = \frac{18 \times 17 \times 16 \times 15 \times 14 \times 13 \times 12 \times 11}{8 \times 7 \times 6 \times 5 \times 4 \times 3 \times 2 \times 1} = 43758$$

2. Если ребята едут одни, то нужно выбрать 11 учеников из 18:

$$C(18, 11) = \frac{18!}{11!(18-11)!} = \frac{18!}{11!7!} = \frac{18 \times 17 \times 16 \times 15 \times 14 \times 13 \times 12}{7 \times 6 \times 5 \times 4 \times 3 \times 2 \times 1} = 31824$$

Таким образом, если классный руководитель едет со школьниками, то возможных вариантов сочетаний будет 43758, а если ребята едут одни, то вариантов будет 31824.

Ответ: 43758, 31824