В классе 25 учеников. Для участия в школьной эстафете необходимо выбрать 13 школьников. Сколькими способами классный руководитель может сделать свой выбор?

Решение:

Эта задача решается с помощью формулы сочетаний, так как порядок выбора школьников не имеет значения. Нам нужно выбрать 13 учеников из 25.

Формула сочетаний: \( C_n^k = \frac{n!}{k!(n-k)!} \), где \( n \) — общее число элементов, а \( k \) — число выбираемых элементов.

В нашем случае \( n = 25 \) и \( k = 13 \).

\( C_{25}^{13} = \frac{25!}{13!(25-13)!} = \frac{25!}{13!12!} \)

Вычисляем:

\( \frac{25 \times 24 \times 23 \times 22 \times 21 \times 20 \times 19 \times 18 \times 17 \times 16 \times 15 \times 14}{12 \times 11 \times 10 \times 9 \times 8 \times 7 \times 6 \times 5 \times 4 \times 3 \times 2 \times 1} \)

После сокращений получаем:

\( 5 \times 2 \times 23 \times 19 \times 17 \times 5 \times 7 \times 13 \times 2 \times 25 \times 2 = 5,200,300 \)

Ответ: 5 200 300 способов.