В классе 25 учеников. Из них 18 человек получили за четверть отметку «5» по географии, а 12 человек — «5» по биологии. Отметьте номера истинных утверждений. 1. Каждый ученик класса получил за четверть отметку «5» и по географии, и по биологии. 2. Обязательно найдётся 5 учеников в классе, которые получили за четверть отметку «5» и по географии, и по биологии. 3. Все ученики класса — отличники. 4. Не найдётся 13 учеников в классе с отметкой «5» за четверть по биологии.

Разбор задачи:

У нас есть 25 учеников. 18 получили «5» по географии, а 12 — по биологии. Нам нужно найти верные утверждения.

Анализ утверждений:

1. «Каждый ученик класса получил за четверть отметку «5» и по географии, и по биологии».

   Это не обязательно так. Если бы мы сложили учеников, получивших «5» по географии (18) и по биологии (12), мы получили бы 30. Это больше, чем общее количество учеников в классе (25). Значит, кто-то получил «5» по обоим предметам. Но это не значит, что каждый получил «5» по обоим. Могут быть ученики, которые не получили «5» ни по одному из предметов, или только по одному.

2. «Обязательно найдётся 5 учеников в классе, которые получили за четверть отметку «5» и по географии, и по биологии».

   Давайте посчитаем минимальное количество учеников, которые могли получить «5» по обоим предметам. Это можно сделать по принципу Дирихле. Общее число учеников — 25. Количество учеников с «5» по географии — 18. Количество учеников с «5» по биологии — 12.

   Сумма учеников, получивших «5» по географии или биологии (или обоим) не может быть больше общего числа учеников. Давайте посчитаем, сколько учеников получили «5» хотя бы по одному предмету. Пусть $$G$$ — множество учеников с «5» по географии, а $$B$$ — множество учеников с «5» по биологии.

   Нам известно: $$|G| = 18$$, $$|B| = 12$$, $$|G igcup B| \neq 25$$ (потому что могут быть те, у кого нет пятёрки ни по одному предмету, но это неважно для данного вопроса).

   Нас интересует $$|G igcap B|$$, то есть количество учеников, получивших «5» и по географии, и по биологии.

   По формуле включения-исключения: $$|G igcup B| = |G| + |B| - |G igcap B|$$.

   Чтобы найти минимальное значение $$|G igcap B|$$, мы можем сказать, что $$|G igcup B| \neq 25$$. Но мы знаем, что $$|G igcup B| \neq 25$$ точно. Максимум $$|G igcup B| = 25$$.

   Тогда $$25 \neq 18 + 12 - |G igcap B|$$.

   $$25 \neq 30 - |G igcap B|$$.

   $$|G igcap B| \neq 30 - 25 = 5$$.

   Это значит, что минимум 5 учеников получили «5» по обоим предметам. Утверждение верное.

3. «Все ученики класса — отличники».

   «Отличник» обычно означает, что все оценки «5». Мы знаем, что 18 получили «5» по географии, а 12 — по биологии. Но мы не знаем, какие оценки у них по другим предметам. Даже если предположить, что «отличник» — это получить «5» по этим двум предметам, то из предыдущего пункта мы видели, что не все получили «5» по обоим предметам. Значит, это утверждение неверное.

4. «Не найдётся 13 учеников в классе с отметкой «5» за четверть по биологии».

   Нам известно, что «5» по биологии получили 12 человек. Если «не найдётся 13 учеников», это значит, что количество учеников с «5» по биологии меньше 13. Поскольку 12 < 13, это утверждение истинное.

Истинные утверждения: 2 и 4.

Ответ: 2, 4