В классе 26 человек, среди них два близнеца-Андрей и Сергей. Класс случайным образом делят на две грушы по 13 человек в каждой. Найдите вероятность того, что Андрей и Сергей окажутся в одной группе. (Подсказка)

Решение:

Всего в классе 26 человек. Их делят на две группы по 13 человек. Найдём вероятность того, что Андрей и Сергей окажутся в одной группе.

1. Общее количество способов разделить класс на две группы.

Выберем 13 человек для первой группы из 26. Количество способов выбрать 13 человек из 26 равно числу сочетаний \( C_{26}^{13} \). Остальные 13 человек автоматически попадут во вторую группу.

\( C_{26}^{13} = \frac{26!}{13!(26-13)!} = \frac{26!}{13!13!} \)

2. Количество способов, при которых Андрей и Сергей окажутся в одной группе.

Случай 1: Андрей и Сергей в первой группе.

Если Андрей и Сергей уже находятся в первой группе (13 человек), нам нужно выбрать ещё 11 человек из оставшихся 24 (26 - 2 = 24).

Количество способов выбрать 11 человек из 24 равно \( C_{24}^{11} \).

\( C_{24}^{11} = \frac{24!}{11!(24-11)!} = \frac{24!}{11!13!} \)

Случай 2: Андрей и Сергей во второй группе.

Если Андрей и Сергей находятся во второй группе, то первая группа (13 человек) формируется из оставшихся 24 человек. Это также означает, что мы выбираем 13 человек из 24 для первой группы, что равно \( C_{24}^{13} \).

\( C_{24}^{13} = \frac{24!}{13!(24-13)!} = \frac{24!}{13!11!} \)

Заметим, что \( C_{24}^{11} = C_{24}^{13} \). Таким образом, общее количество благоприятных исходов равно \( 2 \times C_{24}^{11} \).

3. Расчёт вероятности.

Вероятность \( P \) равна отношению числа благоприятных исходов к общему числу исходов:

\[ P = \(\frac{2 \times C_{24}^{11}}{C_{26}^{13}}\) \)

\[ P = \(\frac{2 \times \frac{24!}{11!13!}}{\frac{26!}{13!13!}}\) \)

\[ P = 2 \(\times\) \(\frac{24!}{11!13!}\) \(\times\) \(\frac{13!13!}{26!}\) \)

\[ P = 2 \(\times\) \(\frac{24! \times 13! \times 13!}{11! \times 13! \times 26!}\) \)

\[ P = 2 \(\times\) \(\frac{24! \times 13!}{11! \times 26!}\) \)

Разложим \( 26! \) как \( 26 \times 25 \times 24! \) и \( 13! \) как \( 13 \times 12 \times 11! \):

\[ P = 2 \(\times\) \(\frac\){24! \(\times\) \(13 \times 12 \times 11!\)}{11! \(\times\) \(26 \times 25 \times 24!\)} \)

Сокращаем \( 24! \) и \( 11! \):

\[ P = 2 \(\times\) \(\frac{13 \times 12}{26 \times 25}\) \)

\[ P = 2 \(\times\) \(\frac{156}{650}\) \)

\[ P = \(\frac{312}{650}\) \)

Сократим дробь, разделив числитель и знаменатель на 2:

\[ P = \(\frac{156}{325}\) \)

Теперь проверим, можно ли сократить дальше. Оба числа делятся на 13:

\[ P = \(\frac{156 \div 13}{325 \div 13}\) = \(\frac{12}{25}\) \)

Альтернативный подход:

Рассмотрим место Андрея. Он оказывается в какой-то группе. Осталось 25 человек, из которых нужно выбрать 12, чтобы они оказались с Андреем в одной группе. Общее количество способов выбрать 12 человек из 25 равно \( C_{25}^{12} \).

\( C_{25}^{12} = \frac{25!}{12!(25-12)!} = \frac{25!}{12!13!} \)

Сергей должен оказаться в той же группе, что и Андрей. В группе Андрея осталось 12 свободных мест. Сергей - один из 25 оставшихся человек.

Вероятность того, что Сергей займёт одно из этих 12 мест, равна \( \frac{12}{25} \).

\( P = \frac{12}{25} \)

\( \frac{12}{25} = \frac{12 \times 4}{25 \times 4} = \frac{48}{100} = 0.48 \)

Ответ: Вероятность того, что Андрей и Сергей окажутся в одной группе, равна \( \frac{12}{25} \) или 0.48.