В классе 35 учеников. Каждый занимается по крайней мере в одном из трех кружков: спортивном, литературном, математическом. В спортивном занимаются 17 человек, в литературном – 30, в математическом –13. Сколько учащихся принимает участие в работе только одного кружка, если известно, что во всех трех кружках занимаются 5 человек?

Разбор задачи:

Эта задача решается с помощью принципа включения-исключения или методом кругов Эйлера.

Дано:

• Общее количество учеников: 35
• Спортивный кружок (С): 17
• Литературный кружок (Л): 30
• Математический кружок (М): 13
• Все три кружка (С ∩ Л ∩ М): 5

Найти: Учащихся, занимающихся только в одном кружке.

Решение:

Сначала найдем, сколько учеников занимается в двух кружках. Для этого используем формулу включения-исключения:

\[ |A \cup B \cup C| = |A| + |B| + |C| - (|A \cap B| + |A \cap C| + |B \cap C|) + |A \cap B \cap C| \]

Подставим известные значения:

\[ 35 = 17 + 30 + 13 - (|С \cap Л| + |С \cap М| + |Л \cap М|) + 5 \]

\[ 35 = 60 - (|С \cap Л| + |С \cap М| + |Л \cap М|) + 5 \]

\[ 35 = 65 - (|С \cap Л| + |С \cap М| + |Л \cap М|) \]

\[ |С \cap Л| + |С \cap М| + |Л \cap М| = 65 - 35 \]

\[ |С \cap Л| + |С \cap М| + |Л \cap М| = 30 \]

Это сумма всех учеников, которые занимаются в двух кружках. Но нам нужно найти тех, кто занимается только в двух кружках. Обозначим:

• \[ |С \text{ только}| \] - только спорт
• \[ |Л \text{ только}| \] - только литература
• \[ |М \text{ только}| \] - только математика
• \[ |С \text{ и } Л \text{ только}| \] - спорт и литература, но не математика
• \[ |С \text{ и } М \text{ только}| \] - спорт и математика, но не литература
• \[ |Л \text{ и } М \text{ только}| \] - литература и математика, но не спорт
• \[ |С \text{ и } Л \text{ и } М| \] - все три кружка (дано = 5)

Известно, что общее количество учеников равно сумме тех, кто занимается в одном, двух и трех кружках:

\[ 35 = (|С \text{ только}| + |Л \text{ только}| + |М \text{ только}|) + (|С \text{ и } Л \text{ только}| + |С \text{ и } М \text{ только}| + |Л \text{ и } М \text{ только}|) + |С \text{ и } Л \text{ и } М| \]

Теперь найдем, сколько человек занимаются ровно в двух кружках. Мы знаем, что сумма всех двоек равна 30, и в эту сумму входит те, кто занимается во всех трех кружках. Поэтому:

\[ (|С \text{ и } Л \text{ только}| + |С \text{ и } М \text{ только}| + |Л \text{ и } М \text{ только}|) = (|С \text{ и } Л| + |С \text{ и } М| + |Л \text{ и } М|) - 3 \times |С \text{ и } Л \text{ и } М| \]

Примечание: мы вычитаем 3 раза по 5, потому что те, кто занимается во всех трех кружках, были учтены в каждой из пар.

\[ (|С \text{ и } Л \text{ только}| + |С \text{ и } М \text{ только}| + |Л \text{ и } М \text{ только}|) = 30 - 3 \times 5 \]

\[ (|С \text{ и } Л \text{ только}| + |С \text{ и } М \text{ только}| + |Л \text{ и } М \text{ только}|) = 30 - 15 \]

\[ (|С \text{ и } Л \text{ только}| + |С \text{ и } М \text{ только}| + |Л \text{ и } М \text{ только}|) = 15 \]

Теперь мы можем найти количество учеников, занимающихся только в одном кружке:

\[ 35 = (|С \text{ только}| + |Л \text{ только}| + |М \text{ только}|) + 15 + 5 \]

\[ 35 = (|С \text{ только}| + |Л \text{ только}| + |М \text{ только}|) + 20 \]

\[ (|С \text{ только}| + |Л \text{ только}| + |М \text{ только}|) = 35 - 20 \]

\[ (|С \text{ только}| + |Л \text{ только}| + |М \text{ только}|) = 15 \]

Ответ: 15