В классе: 1. Дано: ∠B = ∠C = 90°, ∠ADC = 50°, ∠ADB = 40° (рис. 5.93). Доказать: ДАBD = ADCA. 2. В равнобедренном треугольнике угол между боковыми сторонами в три раза больше угла при основании. Найдите углы треугольника. 3. Параллельные прямые а и в пересечены двумя параллельными секущими АВ и CD, причем точки А и С лежат на прямой а, а точки ВиD - на прямой в. Доказать: AC = BD. 4. * Дано: АB = ВС, ВТ = 4 см (рис. 5.94). а) Между какими целыми числами заключена длина отрезка АС? б) Найдите сумму длин отрезков, соединяющих точку Т с серединами сторон АВ и ВС. Дома: 1. Дано: ∠B = ∠C = 90°, ∠ADB = 40°, ∠BDC = 10° (рис. 5.95). Доказать: ДАBD = ADCA. 2. В равнобедренном треугольнике угол при основании в четыре раза больше угла между боковыми сторонами. Найдите углы треугольника. 3. Параллельные прямые а и в пересечены двумя параллельными секущими АВ и CD, причем точки А и С принадлежат прямой а, а точки В и D — прямой в. Доказать: АВ = CD. 4* Дано: AB = BC, AC = 10 см (рис. 5.96). а) Между какими целыми числами заключена длина высоты ABC? б) Найдите сумму длин отрезков, соединяющих точку Т с серединами сторон АВ и ВС.

В классе:

1. Дано: ∠B = ∠C = 90°, ∠ADC = 50°, ∠ADB = 40° (рис. 5.93).

   Доказать: ΔABD = ΔDCA.

   Для доказательства равенства треугольников ΔABD и ΔDCA можно использовать признаки равенства треугольников. Так как ∠B = ∠C = 90°, AD - общая сторона, а также ∠ADB = ∠DAC (как углы, дополняющие ∠ADB и ∠ADC до 90°), то треугольники равны по гипотенузе и острому углу.

2. В равнобедренном треугольнике угол между боковыми сторонами в три раза больше угла при основании. Найдите углы треугольника.

   Пусть угол при основании равен x. Тогда угол между боковыми сторонами равен 3x. Сумма углов в треугольнике равна 180°. Так как треугольник равнобедренный, углы при основании равны.

   Уравнение: x + x + 3x = 180°

   5x = 180°

   x = 36°

   Углы при основании: 36°

   Угол между боковыми сторонами: 3 * 36° = 108°

3. Параллельные прямые a и b пересечены двумя параллельными секущими AB и CD, причем точки A и C лежат на прямой a, а точки B и D - на прямой b. Доказать: AC = BD.

   Так как a || b и AB || CD, то ABCD - параллелограмм. В параллелограмме противоположные стороны равны, следовательно, AC = BD.

4. Дано: AB = BC, BT = 4 см (рис. 5.94).

   а) Между какими целыми числами заключена длина отрезка AC?

   б) Найдите сумму длин отрезков, соединяющих точку T с серединами сторон AB и BC.

   Рассмотрим треугольник ABC, в котором AB = BC. Следовательно, ABC - равнобедренный треугольник. BT - высота, проведенная к основанию AC, а также медиана. Значит, AT = TC.

   Пусть ∠BAC = 30°. Тогда ∠ABC = 180° - 2 * 30° = 120°.

   В прямоугольном треугольнике ABT: sin(30°) = BT / AB = 4 / AB

   AB = 4 / sin(30°) = 4 / 0.5 = 8 см

   Так как AB = BC, то BC = 8 см

   AC = 2 * AT = 2 * AB * cos(30°) = 2 * 8 * (√3 / 2) = 8√3 ≈ 8 * 1.73 = 13.84 см

   а) Длина отрезка AC заключена между целыми числами 13 и 14.

   б) Пусть M - середина AB, а N - середина BC. Тогда MT и NT - медианы треугольников ABT и CBT соответственно.

   MT = AB / 2 = 8 / 2 = 4 см

   NT = BC / 2 = 8 / 2 = 4 см

   Сумма длин отрезков MT + NT = 4 + 4 = 8 см

Дома:

1. Дано: ∠B = ∠C = 90°, ∠ADB = 40°, ∠BDC = 10° (рис. 5.95).

   Доказать: ΔABD = ΔDCA.

   ∠ADC = ∠ADB + ∠BDC = 40° + 10° = 50°.

   Рассмотрим треугольники ABD и DCA. У них ∠B = ∠C = 90°, AD - общая сторона. ∠ADB = 40°, а ∠DAC = 90° - ∠ADC = 90° - 50° = 40°.

   Так как ∠ADB = ∠DAC = 40°, то треугольники равны по гипотенузе и острому углу.

2. В равнобедренном треугольнике угол при основании в четыре раза больше угла между боковыми сторонами. Найдите углы треугольника.

   Пусть угол между боковыми сторонами равен x. Тогда угол при основании равен 4x. Сумма углов в треугольнике равна 180°.

   Уравнение: x + 4x + 4x = 180°

   9x = 180°

   x = 20°

   Угол между боковыми сторонами: 20°

   Углы при основании: 4 * 20° = 80°

3. Параллельные прямые a и b пересечены двумя параллельными секущими AB и CD, причем точки A и C принадлежат прямой a, а точки B и D — прямой b. Доказать: AB = CD.

   Так как a || b и AB || CD, то ABCD - параллелограмм. В параллелограмме противоположные стороны равны, следовательно, AB = CD.

4. Дано: AB = BC, AC = 10 см (рис. 5.96).

   а) Между какими целыми числами заключена длина высоты ABC?

   б) Найдите сумму длин отрезков, соединяющих точку T с серединами сторон AB и BC.

   Рассмотрим треугольник ABC, в котором AB = BC. Следовательно, ABC - равнобедренный треугольник. BT - высота, проведенная к основанию AC, а также медиана. Значит, AT = TC = AC / 2 = 10 / 2 = 5 см.

   Пусть ∠ABC = 60°. Тогда ABC - равносторонний треугольник, и AB = BC = AC = 10 см.

   В прямоугольном треугольнике ABT: BT = AB * sin(60°) = 10 * (√3 / 2) = 5√3 ≈ 5 * 1.73 = 8.65 см

   а) Длина высоты BT заключена между целыми числами 8 и 9.

   б) Пусть M - середина AB, а N - середина BC. Тогда MT и NT - медианы треугольников ABT и CBT соответственно.

   MT = AB / 2 = 10 / 2 = 5 см

   NT = BC / 2 = 10 / 2 = 5 см

   Сумма длин отрезков MT + NT = 5 + 5 = 10 см