В классе учится 30 человек, из них 20 человек посещают биологический кружок, а 16 - географический. Укажите номера истинных утверждений. 1) Найдутся хотя бы двое из этого класса, кто посещает оба кружка. 2) Каждый, кто посещает биологический кружок, обязательно посещает географический кружок. 3) Каждый учащийся из этого класса посещает оба кружка. 4) Оба кружка посещает меньше 17 учащихся этого класса.

Чтобы решить эту задачу, воспользуемся кругами Эйлера. Пусть $$B$$ - множество учеников, посещающих биологический кружок, а $$G$$ - множество учеников, посещающих географический кружок. $$|B| = 20$$ $$|G| = 16$$ Общее количество учеников в классе: $$30$$. Определим минимальное количество учеников, посещающих оба кружка. Для этого предположим, что никто из посещающих биологический кружок не посещает географический. Тогда общее количество учеников, посещающих хотя бы один кружок, было бы $$20 + 16 = 36$$. Но в классе всего 30 учеников, значит, как минимум $$36 - 30 = 6$$ учеников посещают оба кружка. Определим максимальное количество учеников, посещающих оба кружка. Это количество ограничено меньшим из чисел посещающих биологический и географический кружки, то есть $$\min(20, 16) = 16$$. Это значит, что географический кружок могут посещать только те, кто посещает биологический. Теперь проанализируем утверждения: 1) Найдутся хотя бы двое из этого класса, кто посещает оба кружка. Это истинное утверждение, так как мы показали, что минимум 6 учеников посещают оба кружка. 2) Каждый, кто посещает биологический кружок, обязательно посещает географический кружок. Это неверно, так как мы показали, что минимум 6 учеников посещают оба кружка, но не обязательно каждый из 20 посещающих биологический кружок посещает и географический. 3) Каждый учащийся из этого класса посещает оба кружка. Это неверно, так как общее количество учеников в классе 30, а посещают кружки только $$20+16$$ (с учетом возможных пересечений). 4) Оба кружка посещает меньше 17 учащихся этого класса. Это истинное утверждение, так как максимум 16 учеников посещают оба кружка. Ответ: 1, 4