В классе учится 20 человек, из них 11 человек посещают литературный кружок, а 14 — кружок авиамоделирования. Укажите номера истинных утверждений. 1) Найдётся хотя бы двое из этого класса, кто посещает оба кружка. 2) Каждый, кто посещает кружок авиамоделирования, обязательно посещает и литературный кружок. 3) Каждый учащийся из этого класса посещает оба кружка. 4) Оба кружка посещает менее 12 учащихся этого класса.

Решим эту задачу методом исключения. 1) Общее количество учеников в классе: 20. 2) Количество учеников, посещающих литературный кружок: 11. 3) Количество учеников, посещающих кружок авиамоделирования: 14. Предположим, что нет ни одного ученика, посещающего оба кружка. Тогда количество учеников, посещающих хотя бы один кружок, должно быть равно сумме учеников, посещающих каждый кружок по отдельности: $$11 + 14 = 25$$. Однако, в классе всего 20 учеников. Это значит, что наше предположение неверно, и должны быть ученики, посещающие оба кружка. Следовательно, первое утверждение истинно. Чтобы проверить остальные утверждения, давайте найдем минимальное количество учеников, посещающих оба кружка. Пусть $$x$$ - количество учеников, посещающих оба кружка. Тогда количество учеников, посещающих только литературный кружок: $$11 - x$$. Количество учеников, посещающих только кружок авиамоделирования: $$14 - x$$. Сумма учеников, посещающих только литературный кружок, только кружок авиамоделирования и оба кружка, не должна превышать 20: $$(11 - x) + (14 - x) + x \le 20$$ $$25 - x \le 20$$ $$x \ge 5$$ Таким образом, как минимум 5 учеников посещают оба кружка. Теперь оценим максимальное количество учеников, посещающих оба кружка. Это число не может превышать количество учеников, посещающих литературный кружок (11), так как все ученики, посещающие оба кружка, должны посещать и литературный кружок. Таким образом, $$5 \le x \le 11$$. 2) Неверно. Достаточно того, что есть ученики, посещающие только кружок авиамоделирования. 3) Неверно. Очевидно, что не все ученики посещают оба кружка, поскольку количество учеников, посещающих хотя бы один кружок, может варьироваться. 4) Верно, так как максимальное число посещающих оба кружка 11, а $$11 < 12$$. Ответ: 1, 4