В классе учится 20 человек, из них 11 человек посещают литературный кружок, а 14 - кружок авиамоделирования. Укажите номера истинных утверждений. 1) Найдётся хотя бы двое из этого класса, кто посещает оба кружка. 2) Каждый, кто посещает кружок авиамоделирования, обязательно посещает и литературный кружок. 3) Каждый учащийся из этого класса посещает оба кружка. 4) Оба кружка посещает менее 12 учащихся этого класса. Ответ:

Решение: Пусть $$L$$ - множество учеников, посещающих литературный кружок, а $$A$$ - множество учеников, посещающих кружок авиамоделирования. По условию, $$|L| = 11$$ и $$|A| = 14$$. Общее число учеников в классе равно 20. 1) Проверим первое утверждение: "Найдётся хотя бы двое из этого класса, кто посещает оба кружка". Общее число учеников: $$|L \cup A| \le 20$$. Используем формулу для объединения множеств: $$|L \cup A| = |L| + |A| - |L \cap A|$$ Тогда: $$20 \ge |L \cup A| = 11 + 14 - |L \cap A| = 25 - |L \cap A|$$. Отсюда: $$|L \cap A| \ge 25 - 20 = 5$$. Значит, как минимум 5 человек посещают оба кружка. Утверждение 1 - истинно. 2) Проверим второе утверждение: "Каждый, кто посещает кружок авиамоделирования, обязательно посещает и литературный кружок". Это неверно, так как мы знаем только, что хотя бы 5 человек посещают оба кружка, но не все 14, посещающие кружок авиамоделирования. 3) Проверим третье утверждение: "Каждый учащийся из этого класса посещает оба кружка". Это неверно, так как общее количество посещающих хотя бы один кружок может быть меньше 20. Например, 5 человек посещают оба, 6 только литературный и 9 только авиамоделирование, тогда 20 - (5 + 6 + 9) = 0 человек не посещают ни один. 4) Проверим четвертое утверждение: "Оба кружка посещает менее 12 учащихся этого класса". Мы уже выяснили, что $$|L \cap A| \ge 5$$. Максимальное количество учеников, посещающих оба кружка, не может превышать 11 (так как литературный кружок посещают 11 человек). То есть, количество учеников, посещающих оба кружка, находится в диапазоне от 5 до 11 включительно. Таким образом, это утверждение может быть как истинным, так и ложным, но не обязательно истинно. Таким образом, истинное утверждение только одно - первое. Ответ: 1