В классе учится 29 человек, из них 19 человек посещают математический кружок, а 17 человек – кружок по физике. Выберите утверждения, которые обязательно верны, и запишите в ответе их номера. 1) Каждый ученик этого класса посещает либо математический кружок, либо кружок по физике. 2) Найдутся хотя бы двое учеников этого класса, которые посещают математический кружок, но не посещают кружок по физике. 3) Среди учеников, посещающих кружок по физике, найдётся хотя бы один, посещающий математический кружок. 4) Найдутся восемь учеников, посещающих оба кружка.

Решим задачу.

Всего учеников – 29.

Математический кружок посещают – 19 учеников.

Кружок по физике посещают – 17 учеников.

1) Проверим первое утверждение.

Если каждый ученик посещает хотя бы один кружок, то общее количество посещающих кружки должно быть равно количеству учеников в классе, то есть 29.

Если сложить количество учеников, посещающих каждый кружок, получим 19 + 17 = 36, что больше, чем 29. Следовательно, не каждый ученик посещает хотя бы один кружок, а значит, утверждение 1 неверно.

2) Проверим второе утверждение.

Максимальное количество учеников, не посещающих математический кружок, составляет 29 - 19 = 10 человек. Поскольку всего физику посещают 17 человек, то хотя бы 17 - 10 = 7 человек посещают и математический, и физический кружок. То есть, есть ученики, посещающие оба кружка. Следовательно, есть ученики, которые посещают только математический кружок.

Минимальное число учеников, посещающих только математический кружок, составляет: 19 - 17 = 2 человека.

Следовательно, найдутся хотя бы двое учеников этого класса, которые посещают математический кружок, но не посещают кружок по физике. Значит, утверждение 2 верно.

3) Проверим третье утверждение.

Как было показано выше, есть ученики, посещающие оба кружка, а значит, найдётся хотя бы один ученик, посещающий математический кружок из числа тех, кто посещает кружок по физике. Следовательно, утверждение 3 верно.

4) Проверим четвертое утверждение.

Предположим, что нет ни одного ученика, посещающего оба кружка. Тогда количество учеников, посещающих математический кружок или кружок по физике, равно сумме посещающих каждый кружок в отдельности: 19 + 17 = 36. Но в классе всего 29 учеников. Следовательно, есть ученики, посещающие оба кружка.

Определим, какое максимальное число учеников может посещать только один кружок: 29 – x, где x – число учеников, посещающих оба кружка.

Тогда: 19 – x + 17 – x = 29 – x.

36 – 2x = 29 – x.

x = 7.

Таким образом, 7 учеников посещают оба кружка. Следовательно, утверждение 4 неверно.

Таким образом, верны утверждения 2 и 3.

Ответ: 23