В классе учится 25 человек, из них 18 человек посещают математический кружок, а 12 кружок по астрономии. Выберите верные утверждения и запишите в ответе их номера. 1) Каждый учащийся этого класса посещает оба кружка, 2) Найдётся хотя бы двое из этого класса, кто посещает оба кружка. 3) Каждый, кто посещает математический кружок, обязательно посещает и кружок по астрономии. 4) Менее 13 человек посещают и математический кружок, и кружок по астрономии.

Рассмотрим задачу. Всего в классе 25 человек. 18 посещают математический кружок, 12 - кружок по астрономии. 1) Проверим первое утверждение: "Каждый учащийся этого класса посещает оба кружка". Это неверно, потому что если сложить количество учеников, посещающих математический и астрономический кружки, получится 18 + 12 = 30, что больше, чем общее количество учеников в классе (25). Значит, не все ученики посещают оба кружка. 2) Проверим второе утверждение: "Найдётся хотя бы двое из этого класса, кто посещает оба кружка". Определим, сколько учеников посещают хотя бы один кружок (математический или астрономический). Пусть $$x$$ - количество учеников, посещающих оба кружка. Тогда количество учеников, посещающих только математический кружок, равно $$18 - x$$, а количество учеников, посещающих только астрономический кружок, равно $$12 - x$$. Сумма учеников, посещающих только математический, только астрономический и оба кружка, не должна превышать общее количество учеников в классе: $$(18 - x) + (12 - x) + x \le 25$$ $$30 - x \le 25$$ $$x \ge 5$$ Значит, как минимум 5 учеников посещают оба кружка. Следовательно, найдется хотя бы двое, посещающих оба кружка. Утверждение верно. 3) Проверим третье утверждение: "Каждый, кто посещает математический кружок, обязательно посещает и кружок по астрономии". Это неверно, так как посещают оба кружка минимум 5 человек, а математический кружок - 18. Получается, что не каждый ученик, посещающий математический кружок, посещает и кружок по астрономии. 4) Проверим четвертое утверждение: "Менее 13 человек посещают и математический кружок, и кружок по астрономии". Как мы выяснили ранее, количество учеников, посещающих оба кружка $$x \ge 5$$. Максимальное число посещающих оба кружка ограничено числом учеников, посещающих кружок астрономии, то есть 12. Таким образом, количество учеников, посещающих оба кружка, может быть любым числом от 5 до 12 включительно. Так как по условию задачи необходимо найти *верные* утверждения, проверим максимальное количество людей, посещающих оба кружка. 12 < 13. Значит, утверждение верно. Ответ: 24