В классе учится 20 человек, из них 13 человек посещают исторический кружок, а 10 — химический. Выберите утверждения, которые верны при указанных условиях, и запишите в ответе их номера без пробелов, запятых или других дополнительных символов.

Краткое пояснение:

Анализ утверждений:

• 1) Каждый учащийся этого класса посещает оба кружка.
• Опровержение: Если бы каждый посещал оба кружка, то общее число учеников было бы равно числу посещающих исторический кружок (13) и числу посещающих химический кружок (10). Но 13 + 10 = 23, что больше общего числа учеников в классе (20). Следовательно, это утверждение неверно.
• 2) Найдутся хотя бы двое учащихся этого класса, кто посещает оба кружка.
• Проверка: Пусть $$H$$ — множество учеников, посещающих исторический кружок, и $$X$$ — множество учеников, посещающих химический кружок. $$|H| = 13$$, $$|X| = 10$$, $$|H egexcup X| egexleq 20$$. По формуле включений-исключений: $$|H egexcup X| = |H| + |X| - |H egexcap X|$$. Минимальное число учеников, посещающих оба кружка, будет, когда $$|H egexcup X|$$ максимально, то есть равно 20. Тогда $$20 = 13 + 10 - |H egexcap X|$$, откуда $$|H egexcap X| = 23 - 20 = 3$$. Так как минимальное число учеников, посещающих оба кружка, равно 3, то утверждение «найдутся хотя бы двое» верно.
• 3) Каждый, кто посещает исторический кружок, обязательно посещает и химический кружок.
• Опровержение: Это означает, что множество $$H$$ является подмножеством множества $$X$$ ($$H egexsubseteq X$$). В этом случае $$|H| egexleq |X|$$. У нас $$|H| = 13$$ и $$|X| = 10$$. Так как $$13 > 10$$, это невозможно. Следовательно, утверждение неверно.
• 4) Меньше 11 человек посещают и исторический кружок, и химический кружок.
• Проверка: Как мы выяснили в пункте 2, минимальное число учеников, посещающих оба кружка, равно 3. Максимальное число учеников, посещающих оба кружка, равно меньшему из посещающих один кружок, то есть 10 (если все, кто ходит на химический, также ходят на исторический). Таким образом, количество учеников, посещающих оба кружка, находится в диапазоне от 3 до 10. Поскольку 10 < 11, утверждение «меньше 11 человек посещают оба кружка» верно.

Ответ: 24