В книжном шкафу было в 6 раз больше книг, чем на полке. После того как из шкафа взяли 46 книг, а с полки 18 книг, на полке осталось на 97 книг меньше, чем в шкафу. Сколько книг было сначала в шкафу и сколько на полке?

Решение:

Пусть x — количество книг на полке сначала.

Тогда в шкафу было 6x книг.

1. После того как из шкафа взяли 46 книг, в шкафу осталось: \( 6x - 46 \) книг.
2. После того как с полки взяли 18 книг, на полке осталось: \( x - 18 \) книг.
3. По условию задачи, на полке стало на 97 книг меньше, чем в шкафу. Составим уравнение:

\( (x - 18) = (6x - 46) - 97 \)

1. Решим уравнение:

\( x - 18 = 6x - 46 - 97 \)

\( x - 18 = 6x - 143 \)

\( 143 - 18 = 6x - x \)

\( 125 = 5x \)

\( x = \frac{125}{5} \)

\( x = 25 \)

Значит, на полке сначала было 25 книг.

В шкафу сначала было: \( 6x = 6 × 25 = 150 \) книг.

Проверка:

После изменений в шкафу осталось: \( 150 - 46 = 104 \) книги.

На полке осталось: \( 25 - 18 = 7 \) книг.

Разница: \( 104 - 7 = 97 \) книг. Условие выполняется.

Ответ: Сначала в шкафу было 150 книг, а на полке — 25 книг.