В коллекции нумизмата 45 старинных монет. Монеты XVII века состав- ляют \(\frac{2}{15}\) числа всех монет и \(\frac{3}{7}\) числа монет XVIII века. Монеты XIX века составляют \(\frac{3}{5}\) от числа всех монет за минусом монет XVII-XVII в.в., а остальные – дореволюционные монеты ХХ века. Какую часть всех монет составляют монеты ХХ века?

Решение:

Пусть общее количество монет — 1. Тогда:

1. Монеты XVII века составляют \(\frac{2}{15}\) от всех монет.
2. Монеты XVIII века составляют \(\frac{3}{7}\) от всех монет.
3. Монеты XIX века составляют \(\frac{3}{5}\) от всех монет, но нужно вычесть монеты XVII и XVIII веков, чтобы избежать двойного учёта.
4. Чтобы найти долю монет XX века, вычитаем из 1 доли монет XVII, XVIII и XIX веков.

Сначала найдем, какую часть от всех монет составляют монеты XIX века:

\[\frac{3}{5} - \frac{2}{15} - \frac{3}{7} = \frac{3 \cdot 21}{5 \cdot 21} - \frac{2 \cdot 7}{15 \cdot 7} - \frac{3 \cdot 15}{7 \cdot 15} = \frac{63}{105} - \frac{14}{105} - \frac{45}{105} = \frac{63 - 14 - 45}{105} = \frac{4}{105}\]

Теперь найдем, какую часть от всех монет составляют монеты XX века:

\[1 - \frac{2}{15} - \frac{3}{7} - \frac{4}{105} = \frac{105}{105} - \frac{2 \cdot 7}{15 \cdot 7} - \frac{3 \cdot 15}{7 \cdot 15} - \frac{4}{105} = \frac{105}{105} - \frac{14}{105} - \frac{45}{105} - \frac{4}{105} = \frac{105 - 14 - 45 - 4}{105} = \frac{42}{105}\]

Сократим дробь \(\frac{42}{105}\) на 21:

\[\frac{42}{105} = \frac{42 : 21}{105 : 21} = \frac{2}{5}\]

Таким образом, монеты XX века составляют \(\frac{2}{5}\) от всех монет.

Ответ: \(\frac{2}{5}\)

Проверка за 10 секунд: Сложите все полученные доли, чтобы убедиться, что сумма равна 1 (общему количеству монет).

Доп. профит: Уровень Эксперт. Умение работать с дробями и приводить их к общему знаменателю - важный навык не только в математике, но и в повседневной жизни, например, при расчете пропорций в кулинарии.