В колонию из 15 черных бактерий попадает белая бактерия. Каждую секунду каждая белая бактерия уничтожает одну черную бактерию, после чего все бактерии делятся надвое. Через сколько секунд останутся только белые бактерии?

Решение:

Пусть \( Ч_n \) — количество черных бактерий, а \( Б_n \) — количество белых бактерий в начале \( n \)-й секунды.

Начало: \( Ч_0 = 15 \), \( Б_0 = 1 \).

Через 1 секунду:

1. Каждая из \( Б_0 = 1 \) белой бактерии уничтожает по 1 черной. Стало \( Ч_1 = Ч_0 - Б_0 = 15 - 1 = 14 \) черных бактерий.
2. Все бактерии делятся надвое. Теперь \( Ч_1 = 14 \times 2 = 28 \) черных бактерий и \( Б_1 = 1 \times 2 = 2 \) белых бактерии.

Через 2 секунды:

1. Каждая из \( Б_1 = 2 \) белых бактерий уничтожает по 1 черной. Стало \( Ч_2 = Ч_1 - Б_1 = 28 - 2 = 26 \) черных бактерий.
2. Все бактерии делятся надвое. Теперь \( Ч_2 = 26 \times 2 = 52 \) черных бактерии и \( Б_2 = 2 \times 2 = 4 \) белых бактерии.

Через 3 секунды:

1. Каждая из \( Б_2 = 4 \) белых бактерий уничтожает по 1 черной. Стало \( Ч_3 = Ч_2 - Б_2 = 52 - 4 = 48 \) черных бактерий.
2. Все бактерии делятся надвое. Теперь \( Ч_3 = 48 \times 2 = 96 \) черных бактерий и \( Б_3 = 4 \times 2 = 8 \) белых бактерий.

Через 4 секунды:

1. Каждая из \( Б_3 = 8 \) белых бактерий уничтожает по 1 черной. Стало \( Ч_4 = Ч_3 - Б_3 = 96 - 8 = 88 \) черных бактерий.
2. Все бактерии делятся надвое. Теперь \( Ч_4 = 88 \times 2 = 176 \) черных бактерий и \( Б_4 = 8 \times 2 = 16 \) белых бактерий.

Через 5 секунд:

1. Каждая из \( Б_4 = 16 \) белых бактерий уничтожает по 1 черной. Стало \( Ч_5 = Ч_4 - Б_4 = 176 - 16 = 160 \) черных бактерий.
2. Все бактерии делятся надвое. Теперь \( Ч_5 = 160 \times 2 = 320 \) черных бактерий и \( Б_5 = 16 \times 2 = 32 \) белых бактерии.

Через 6 секунд:

1. Каждая из \( Б_5 = 32 \) белых бактерий уничтожает по 1 черной. Стало \( Ч_6 = Ч_5 - Б_5 = 320 - 32 = 288 \) черных бактерий.
2. Все бактерии делятся надвое. Теперь \( Ч_6 = 288 \times 2 = 576 \) черных бактерий и \( Б_6 = 32 \times 2 = 64 \) белых бактерии.

Через 7 секунд:

1. Каждая из \( Б_6 = 64 \) белых бактерий уничтожает по 1 черной. Стало \( Ч_7 = Ч_6 - Б_6 = 576 - 64 = 512 \) черных бактерий.
2. Все бактерии делятся надвое. Теперь \( Ч_7 = 512 \times 2 = 1024 \) черных бактерии и \( Б_7 = 64 \times 2 = 128 \) белых бактерий.

Через 8 секунд:

1. Каждая из \( Б_7 = 128 \) белых бактерий уничтожает по 1 черной. Стало \( Ч_8 = Ч_7 - Б_7 = 1024 - 128 = 896 \) черных бактерий.
2. Все бактерии делятся надвое. Теперь \( Ч_8 = 896 \times 2 = 1792 \) черных бактерий и \( Б_8 = 128 \times 2 = 256 \) белых бактерии.

Через 9 секунд:

1. Каждая из \( Б_8 = 256 \) белых бактерий уничтожает по 1 черной. Стало \( Ч_9 = Ч_8 - Б_8 = 1792 - 256 = 1536 \) черных бактерий.
2. Все бактерии делятся надвое. Теперь \( Ч_9 = 1536 \times 2 = 3072 \) черных бактерий и \( Б_9 = 256 \times 2 = 512 \) белых бактерии.

Через 10 секунд:

1. Каждая из \( Б_9 = 512 \) белых бактерий уничтожает по 1 черной. Стало \( Ч_{10} = Ч_9 - Б_9 = 3072 - 512 = 2560 \) черных бактерий.
2. Все бактерии делятся надвое. Теперь \( Ч_{10} = 2560 \times 2 = 5120 \) черных бактерий и \( Б_{10} = 512 \times 2 = 1024 \) белых бактерии.

Через 11 секунд:

1. Каждая из \( Б_{10} = 1024 \) белых бактерий уничтожает по 1 черной. Стало \( Ч_{11} = Ч_{10} - Б_{10} = 5120 - 1024 = 4096 \) черных бактерий.
2. Все бактерии делятся надвое. Теперь \( Ч_{11} = 4096 \times 2 = 8192 \) черных бактерий и \( Б_{11} = 1024 \times 2 = 2048 \) белых бактерии.

Через 12 секунд:

1. Каждая из \( Б_{11} = 2048 \) белых бактерий уничтожает по 1 черной. Стало \( Ч_{12} = Ч_{11} - Б_{11} = 8192 - 2048 = 6144 \) черных бактерий.
2. Все бактерии делятся надвое. Теперь \( Ч_{12} = 6144 \times 2 = 12288 \) черных бактерий и \( Б_{12} = 2048 \times 2 = 4096 \) белых бактерии.

Через 13 секунд:

1. Каждая из \( Б_{12} = 4096 \) белых бактерий уничтожает по 1 черной. Стало \( Ч_{13} = Ч_{12} - Б_{12} = 12288 - 4096 = 8192 \) черных бактерий.
2. Все бактерии делятся надвое. Теперь \( Ч_{13} = 8192 \times 2 = 16384 \) черных бактерий и \( Б_{13} = 4096 \times 2 = 8192 \) белых бактерии.

Через 14 секунд:

1. Каждая из \( Б_{13} = 8192 \) белых бактерий уничтожает по 1 черной. Стало \( Ч_{14} = Ч_{13} - Б_{13} = 16384 - 8192 = 8192 \) черных бактерий.
2. Все бактерии делятся надвое. Теперь \( Ч_{14} = 8192 \times 2 = 16384 \) черных бактерий и \( Б_{14} = 8192 \times 2 = 16384 \) белых бактерии.

Через 15 секунд:

1. Каждая из \( Б_{14} = 16384 \) белых бактерий уничтожает по 1 черной. Стало \( Ч_{15} = Ч_{14} - Б_{14} = 16384 - 16384 = 0 \) черных бактерий.
2. Все бактерии делятся надвое. Теперь \( Ч_{15} = 0 \times 2 = 0 \) черных бактерий и \( Б_{15} = 16384 \times 2 = 32768 \) белых бактерии.

Ответ: через 15 секунд.