В команде 30 человек. Может ли быть так, что 11 из них имеют по 13 знакомых (в этой команде), 9 — по 7 знакомых, а 10 — по 4 знакомых?

Решение:

Эта задача решается с помощью правила о сумме степеней вершин в неориентированном графе. В данном случае, люди — это вершины графа, а знакомство между двумя людьми — это ребро, соединяющее эти вершины. Количество знакомых у каждого человека — это степень соответствующей вершины.

Теорема о рукопожатиях (Лемма о степенях вершин): Сумма степеней всех вершин графа равна удвоенному числу его ребер. Это означает, что сумма степеней вершин всегда является четным числом.

Проверим условие задачи:

1. 11 человек имеют по 13 знакомых: Сумма знакомых для этой группы = \( 11 \times 13 = 143 \).
2. 9 человек имеют по 7 знакомых: Сумма знакомых для этой группы = \( 9 \times 7 = 63 \).
3. 10 человек имеют по 4 знакомых: Сумма знакомых для этой группы = \( 10 \times 4 = 40 \).
4. Общая сумма знакомых (сумма степеней): \( 143 + 63 + 40 = 246 \).

Полученная сумма (246) является четным числом. Это означает, что такое распределение знакомств теоретически возможно.

Вывод: Да, такое распределение знакомств возможно, так как сумма степеней вершин (общее число знакомств, умноженное на 2) получается четной.

Ответ: Да.