В компании из 10 человек выяснилось, что семеро пришедших обменялись рукопожатиями с шестью другими среди собравшихся, а оставшиеся трое совершили по 5 рукопожатий. Может ли такое быть?

Решение:

Это задача на теорию графов, где люди — это вершины, а рукопожатия — рёбра. Сумма степеней всех вершин в любом графе всегда чётна (теорема о рукопожатиях).

В данной задаче 10 человек. Семеро совершили по 6 рукопожатий, а трое — по 5 рукопожатий.

Сумма степеней = \( 7 \cdot 6 + 3 \cdot 5 = 42 + 15 = 57 \).

Полученная сумма степеней (57) является нечётной.

Согласно теореме о рукопожатиях, сумма степеней всех вершин графа должна быть чётной.

Следовательно, такая ситуация невозможна.

Ответ: Нет