В конце учебного года подсчитали количество задач, решённых за год каждым участником школьного математического кружка. Оказалось, что каждый из них решил более 40, но менее 70 задач. Выберите верные утверждения и запишите в ответе их номера. 1) Есть два участника кружка, решившие одинаковое количество задач. 2) Обязательно найдётся участник этого кружка, решивший ровно 67 задач. 3) Нет таких двух участников этого кружка, что один из них решил ровно в два раза больше задач, чем другой. 4) Нет ни одного участника этого кружка, решившего ровно 70 задач. Ответ:

Внимательно прочитаем условие задачи.

Количество задач, решенных каждым участником, больше 40, но меньше 70. Это значит, что каждый участник решил от 41 до 69 задач включительно.

Оценим каждое утверждение:

1. Есть два участника кружка, решившие одинаковое количество задач.

Так как нам не дано количество участников кружка, то мы не можем точно сказать, есть ли два участника, решившие одинаковое количество задач. Если в кружке 29 или более человек, то утверждение точно верное (т.к. возможно только 69 - 40 = 29 вариантов количества решённых задач). Но если участников меньше 29, то утверждение не обязательно верно. Следовательно, утверждение не всегда верно.

2. Обязательно найдётся участник этого кружка, решивший ровно 67 задач.

Аналогично, мы не знаем, сколько всего участников кружка. Возможно, что никто из них не решил ровно 67 задач. Утверждение не всегда верно.

3. Нет таких двух участников этого кружка, что один из них решил ровно в два раза больше задач, чем другой.

Предположим, что один из участников решил 41 задачу. Тогда другой должен решить 41 * 2 = 82 задачи, но это больше 69, поэтому такого быть не может.

Предположим, что один из участников решил 42 задачи. Тогда другой должен решить 42 * 2 = 84 задачи, но это больше 69, поэтому такого быть не может.

Минимальное количество задач, которое мог решить участник - 41. Значит, чтобы один из участников решил в два раза больше задач, чем другой, необходимо, чтобы решалось условие 2 * 41 ≤ 69. Наибольшее число задач, которое мог решить участник - 69, поэтому 2x = 69, x = 34.5. Таким образом, нужно проверить числа от 41 до 69.

Если один решил 41, то другой 82 (не подходит, т.к. больше 69) Если один решил 42, то другой 84 (не подходит, т.к. больше 69) Если один решил 43, то другой 86 (не подходит, т.к. больше 69) Если один решил 44, то другой 88 (не подходит, т.к. больше 69) Если один решил 45, то другой 90 (не подходит, т.к. больше 69) Если один решил 46, то другой 92 (не подходит, т.к. больше 69) Если один решил 47, то другой 94 (не подходит, т.к. больше 69) Если один решил 48, то другой 96 (не подходит, т.к. больше 69) Если один решил 49, то другой 98 (не подходит, т.к. больше 69) Если один решил 50, то другой 100 (не подходит, т.к. больше 69) Если один решил 51, то другой 102 (не подходит, т.к. больше 69) Если один решил 52, то другой 104 (не подходит, т.к. больше 69)

Проверять дальше смысла нет, т.к. 2x > 69.

Утверждение верное.

4. Нет ни одного участника этого кружка, решившего ровно 70 задач.

Это утверждение верно, так как каждый из участников решил менее 70 задач.

Таким образом, верные утверждения под номерами 3 и 4.

Ответ: 34