Алгебра
Английский
Биология
География
Геометрия
История
Русский
Обществознание
Физика
Химия
Информатика
Литература
МатематикаВопрос:
В конус вписана правильная треугольная пирамида, со стороной основания равной 6. Найдите площадь боковой поверхности конуса, если площадь боковой поверхности пирамиды равна 54. В ответ укажите значение выражения (Sбок/π)².
Ответ:
Привет! Давай решим эту задачу по геометрии вместе.
\( \)
Для начала вспомним ключевые моменты:
\( \)
- Правильная треугольная пирамида вписана в конус.
- Сторона основания пирамиды равна 6.
- Площадь боковой поверхности пирамиды равна 54.
- Нужно найти площадь боковой поверхности конуса и вычислить значение выражения \( \left(\frac{S_{бок}}{\pi}\right)^2 \).
\( \)
Решение:
\( \)
1. Найдем радиус основания конуса.
Основание пирамиды - правильный треугольник. Радиус окружности, описанной около правильного треугольника, можно найти по формуле:
\( R = \frac{a}{\sqrt{3}} \), где \( a \) - сторона треугольника.
В нашем случае \( a = 6 \), поэтому
\( R = \frac{6}{\sqrt{3}} = \frac{6\sqrt{3}}{3} = 2\sqrt{3} \)
\( \)
2. Найдем апофему пирамиды.
Площадь боковой поверхности правильной треугольной пирамиды равна:
\( S_{бок.пир.} = \frac{1}{2} P \cdot l \), где \( P \) - периметр основания, \( l \) - апофема.
Периметр основания равен \( P = 3a = 3 \cdot 6 = 18 \).
Тогда \( 54 = \frac{1}{2} \cdot 18 \cdot l \), откуда \( l = \frac{54 \cdot 2}{18} = 6 \).
\( \)
3. Найдем образующую конуса.
Так как пирамида вписана в конус, апофема пирамиды является образующей конуса. Следовательно, образующая конуса \( L = 6 \).
\( \)
4. Найдем площадь боковой поверхности конуса.
Площадь боковой поверхности конуса равна:
\( S_{бок.кон.} = \pi R L \), где \( R \) - радиус основания, \( L \) - образующая.
Подставляем значения:
\( S_{бок.кон.} = \pi \cdot 2\sqrt{3} \cdot 6 = 12\pi\sqrt{3} \)
\( \)
5. Вычислим значение выражения \( \left(\frac{S_{бок}}{\pi}\right)^2 \).
\( \left(\frac{S_{бок}}{\pi}\right)^2 = \left(\frac{12\pi\sqrt{3}}{\pi}\right)^2 = (12\sqrt{3})^2 = 144 \cdot 3 = 432 \)
\( \)
Ответ: 432
Отлично! Ты хорошо поработал, и у тебя все получилось. Продолжай в том же духе!
