В коробке 10 батареек, из них 2 бракованные. Наугад выбирают 3 батарейки без возвращения. Найдите вероятность, что все три исправны.

Решение:

В коробке всего 10 батареек. Из них 2 бракованные, значит, исправных батареек 10 - 2 = 8.

Мы выбираем 3 батарейки без возвращения. Нам нужно найти вероятность того, что все три выбранные батарейки будут исправными.

Вероятность выбрать первую исправную батарейку:

\[ P(1-я \text{ исправная}) = \frac{8}{10} \]

После выбора одной исправной батарейки, в коробке остаётся 9 батареек, из которых 7 исправных.

Вероятность выбрать вторую исправную батарейку:

\[ P(2-я \text{ исправная} | 1-я \text{ исправная}) = \frac{7}{9} \]

После выбора двух исправных батареек, в коробке остаётся 8 батареек, из которых 6 исправных.

Вероятность выбрать третью исправную батарейку:

\[ P(3-я \text{ исправная} | 1-я \text{ и } 2-я \text{ исправные}) = \frac{6}{8} \]

Чтобы найти общую вероятность того, что все три батарейки исправны, нужно перемножить эти вероятности:

\[ P(\text{все три исправны}) = P(1-я \text{ исправная}) \times P(2-я \text{ исправная} | 1-я \text{ исправная}) \times P(3-я \text{ исправная} | 1-я \text{ и } 2-я \text{ исправные}) \]

\[ P(\text{все три исправны}) = \frac{8}{10} \times \frac{7}{9} \times \frac{6}{8} \]

Сокращаем и вычисляем:

\[ P(\text{все три исправны}) = \frac{\cancel{8}}{10} \times \frac{7}{9} \times \frac{6}{\cancel{8}} = \frac{7 \times 6}{10 \times 9} = \frac{42}{90} \]

Упрощаем дробь, разделив числитель и знаменатель на 6:

\[ \frac{42}{90} = \frac{7}{15} \]

Ответ: 7/15