21. В коробке пять одинаковых изделий, причем три из них окрашены. Наудачу извлечены два изделия. Найти вероятность того, что среди двух извлеченных 11 изделий окажутся: а) одно окрашенное изделие; б) два окрашенных изделия; в) хотя бы одно окрашенное изделие.

Решение:

а) Вероятность того, что среди двух извлеченных изделий окажется одно окрашенное изделие: Общее количество способов выбрать 2 изделия из 5 равно: \[ C_5^2 = \frac{5!}{2!(5-2)!} = \frac{5 \times 4}{2 \times 1} = 10 \] Количество способов выбрать 1 окрашенное изделие из 3 и 1 неокрашенное из 2 равно: \[ C_3^1 \times C_2^1 = 3 \times 2 = 6 \] Таким образом, вероятность равна: \[ P(одно\ окрашенное) = \frac{6}{10} = \frac{3}{5} = 0.6 \] б) Вероятность того, что среди двух извлеченных изделий окажутся два окрашенных изделия: Количество способов выбрать 2 окрашенных изделия из 3 равно: \[ C_3^2 = \frac{3!}{2!(3-2)!} = \frac{3 \times 2}{2 \times 1} = 3 \] Таким образом, вероятность равна: \[ P(два\ окрашенных) = \frac{3}{10} = 0.3 \] в) Вероятность того, что среди двух извлеченных изделий окажется хотя бы одно окрашенное изделие: Это можно найти как 1 - вероятность того, что не будет ни одного окрашенного изделия. Количество способов выбрать 2 неокрашенных изделия из 2 равно: \[ C_2^2 = 1 \] Вероятность выбрать 2 неокрашенных изделия: \[ P(ни\ одного\ окрашенного) = \frac{1}{10} = 0.1 \] Таким образом, вероятность хотя бы одного окрашенного изделия равна: \[ P(хотя\ бы\ одно\ окрашенное) = 1 - 0.1 = 0.9 \]