В коробке с ёлочными игрушками лежит 12 ёлочных шаров: 5 красных, 4 зелёных и 3 синих Наугад из коробки достают несколько шаров. Укажите номера истинных утверждений.. 1) Если достать 10 шаров, то среди них обязательно будут шары трёх разных цветов.. 2) Если достать 9 шаров, то среди них обязательно будет шар красного цвета. 3) Если достать 5 шаров, то среди них обязательно будут 2 шара разного цвета.. 4) Если достать 3 шара, то они обязательно будут трёх разных цветов.

Решение:

В коробке 12 шаров: 5 красных, 4 зелёных, 3 синих.

Будем проверять каждое утверждение, используя принцип Дирихле (принцип ящиков).

1) Если достать 10 шаров, то среди них обязательно будут шары трёх разных цветов.

• Наихудший сценарий: сначала мы достанем все шары одного цвета, затем все шары другого цвета, и только потом добавим шар третьего цвета.
• Максимальное количество шаров двух цветов: 5 (красных) + 4 (зелёных) = 9 шаров.
• Если мы достанем 9 шаров, то они могут быть всех красных и всех зелёных.
• Следующий, 10-й шар, ОБЯЗАТЕЛЬНО будет синего цвета, так как остались только синие шары.
• Следовательно, если достать 10 шаров, то среди них гарантированно будут шары трёх разных цветов (5 красных, 4 зелёных и 1 синий в наихудшем случае).
• Утверждение 1 истинно.

2) Если достать 9 шаров, то среди них обязательно будет шар красного цвета.

• Наихудший сценарий: сначала мы достанем все шары не красного цвета.
• Количество шаров не красного цвета: 4 (зелёных) + 3 (синих) = 7 шаров.
• Если мы достанем 7 шаров, то они могут быть всех зелёных и всех синих.
• Следующие 2 шара (до 9-ти) ОБЯЗАТЕЛЬНО будут красными, так как остались только красные шары.
• Следовательно, если достать 9 шаров, то среди них гарантированно будет как минимум 2 красных шара.
• Утверждение 2 истинно.

3) Если достать 5 шаров, то среди них обязательно будут 2 шара разного цвета.

• Рассмотрим наихудший сценарий, когда мы пытаемся избежать получения шаров разных цветов. Это означает, что все 5 шаров будут одного цвета.
• Однако, шаров одного цвета максимум 5 (красных).
• Если мы достанем 5 шаров, то они могут быть все 5 красными. В этом случае у нас будут шары только одного цвета.
• Следовательно, не обязательно будут шары 2 разных цветов.
• Утверждение 3 ложно.

4) Если достать 3 шара, то они обязательно будут трёх разных цветов.

• Рассмотрим наихудший сценарий: сначала мы достанем все шары одного цвета.
• Если мы достанем 3 шара, то все они могут быть красными (так как красных шаров 5).
• Следовательно, не обязательно будут шары трёх разных цветов.
• Утверждение 4 ложно.

Итоговый ответ:

• Истинными являются утверждения 1 и 2.

Ответ: 1, 2