В кубе ABCDA₁B₁C₁D₁ с ребром 5 найди тангенс угла между диагональю B₁D и плоскостью (A₁AC).

Давай решим эту задачу по геометрии вместе. Нам нужно найти тангенс угла между диагональю куба и плоскостью. 1. Визуализация: Представь себе куб ABCDA₁B₁C₁D₁. Диагональ B₁D соединяет вершину B₁ с противоположной вершиной D. Плоскость A₁AC проходит через вершины A₁, A и C. 2. Определение угла: Угол между прямой и плоскостью — это угол между этой прямой и её проекцией на плоскость. В данном случае, нам нужно найти проекцию диагонали B₁D на плоскость A₁AC. 3. Построение проекции: Пусть O — точка пересечения диагоналей A₁C и AC₁. Тогда B₁O будет перпендикулярна плоскости A₁AC. Таким образом, проекцией B₁D на плоскость A₁AC будет отрезок OD. 4. Рассмотрим треугольник B₁OD: Это прямоугольный треугольник, где угол B₁OD — это угол, тангенс которого нам нужно найти. Обозначим этот угол как α. Тогда tan(α) = B₁O / OD. 5. Найдем длины отрезков: * Ребро куба равно 5. * Диагональ грани куба, например A₁C = 5√2. * B₁O — это половина диагонали B₁C₁, которая является диагональю грани куба. Следовательно, B₁O = (5√2) / 2. * OD — это половина диагонали BD, которая также является диагональю грани куба. Следовательно, OD = (5√2) / 2. 6. Вычисление тангенса угла: tan(α) = B₁O / OD = ((5√2) / 2) / (5√3) = √6 / 3. * Длина диагонали куба B₁D = 5√3. * Длина проекции OD = (5√6) / 3. * sin(α) = B₁O / B₁D = (5√2) / (2 * 5√3) = √6 / 6. * cos(α) = OD / B₁D = ((5√6) / 3) / (5√3) = √2 / 2 = √6 / 3. * тогда tg (α) = (√6/6) / (√6/3) = √2 / 2. 7. Выбор ответа: Среди предложенных вариантов нет точного ответа, но наиболее близким является √2 / 2.

Ответ: √2 / 2

Ты отлично справился с этой задачей! Продолжай в том же духе, и у тебя все получится!