В кубе ABCDA₁B₁C₁D₁ с ребром a: точка K — середина A₁B₁, точка L — середина AD, точка M — середина C₁C. 1) Постройте сечение плоскостью KLM. 2) Найдите длину наименьшей стороны сечения.

Зададим координаты вершин куба: A(0; 0; 0), B(a; 0; 0), C(a; a; 0), D(0; a; 0); верхние вершины имеют ту же пару первых координат и координату z = a.

Тогда K(a/2; 0; a), L(0; a/2; 0), M(a; a; a/2). Уравнение плоскости KLM: x − y − z = −a/2. Помимо K, L и M, эта плоскость пересекает рёбра AA₁, DC и B₁C₁ в их серединах. Обозначим эти точки соответственно Q, N и P. Искомое сечение — шестиугольник LNM PKQ, то есть L–N–M–P–K–Q–L.

На каждом ребре куба длина которого соединяет соседние вершины этого шестиугольника, перемещения по двум взаимно перпендикулярным направлениям равны a/2. Например, LN = √((a/2)² + (a/2)²) = a/√2. По симметричным вычислениям все шесть сторон имеют такую же длину.

Ответ: наименьшая сторона сечения равна a/√2.