В кубе ABCDA₁B₁C₁D₁ с ребром, равным a, через точки M, P и N на рёбрах BB₁, CC₁ и DD₁ соответственно, такие, что BM = 3a/4, CP = 2a/3 и DN = a/4, проведена секущая плоскость. Найдите площадь сечения.

Обозначим координаты вершин куба: A(0,0,0), D(a,0,0), B(0,a,0). Тогда M(0,a,3a/4), P(a,a,2a/3), N(a,0,a/4).

Плоскость сечения пересекает ребро AA₁ в точке Q, где AQ = a/3. Векторы сторон параллелограмма QMPN можно взять в виде QM = (0,a,5a/12) и QN = (a,0,−a/12). Поскольку Q + P = M + N, сечение QMPN — параллелограмм.

Его площадь равна модулю векторного произведения сторон:

\(S=|\overrightarrow{QM}\times\overrightarrow{QN}|=a^2\sqrt{1+(5/12)^2+(5/12)^2}=\frac{a^2\sqrt{194}}{12}.\)

Ответ: \(\frac{a^2\sqrt{194}}{12}\).