В кубе $$ABCDA_1B_1C_1D_1$$ найдите угол между прямыми $$BB_1$$ и $$AC$$. Ответ дайте в градусах.

Задача на нахождение угла между скрещивающимися прямыми в кубе.

1. Прямая $$BB_1$$ перпендикулярна плоскости $$ABC$$, так как куб - это прямоугольный параллелепипед, у которого все грани - квадраты.

2. Рассмотрим прямую $$AC$$, лежащую в плоскости $$ABC$$.

3. Угол между прямой и плоскостью - это угол между прямой и ее проекцией на эту плоскость. В данном случае, проекция прямой $$BB_1$$ на плоскость $$ABC$$ - точка $$B$$.

4. Угол между прямой $$AC$$ и ее проекцией - точкой $$B$$ на плоскости $$ABC$$ равен углу между прямыми $$AC$$ и $$AB$$.

5. Так как $$ABCD$$ - квадрат, то угол $$BAC$$ равен $$45^{\circ}$$.

6. Искомый угол между прямыми $$BB_1$$ и $$AC$$ равен $$90^{\circ}-45^{\circ}=45^{\circ}$$.

Рассмотрим векторный метод решения данной задачи:

Обозначим ребро куба через $$a$$. Введем систему координат с началом в точке $$A$$, ось $$x$$ вдоль $$AB$$, ось $$y$$ вдоль $$AD$$, ось $$z$$ вдоль $$AA_1$$. Тогда координаты точек будут следующими:

$$B(a,0,0)$$, $$B_1(a,0,a)$$, $$A(0,0,0)$$, $$C(a,a,0)$$

Вектор $$\vec{BB_1} = (a-a, 0-0, a-0) = (0,0,a)$$

Вектор $$\vec{AC} = (a-0, a-0, 0-0) = (a,a,0)$$

Найдем косинус угла между векторами $$\vec{BB_1}$$ и $$\vec{AC}$$:

$$cos\varphi = \frac{\vec{BB_1} \cdot \vec{AC}}{|\vec{BB_1}| \cdot |\vec{AC}|} = \frac{(0 \cdot a + 0 \cdot a + a \cdot 0)}{\sqrt{0^2 + 0^2 + a^2} \cdot \sqrt{a^2 + a^2 + 0^2}} = \frac{0}{\sqrt{a^2} \cdot \sqrt{2a^2}} = \frac{0}{a \cdot a\sqrt{2}} = 0$$

Тогда угол $$\varphi = arccos(0) = 90^{\circ}$$

Но прямые $$BB_1$$ и $$AC$$ скрещиваются, поэтому необходимо найти угол между прямой $$AC$$ и прямой, параллельной $$BB_1$$.

Пусть $$O$$ - центр квадрата $$ABCD$$, тогда $$BO \parallel AC$$. Рассмотрим треугольник $$AOB_1$$. $$OB_1 = \sqrt{OB^2+BB_1^2}=\sqrt{(\frac{a\sqrt{2}}{2})^2+a^2}=\sqrt{\frac{a^2}{2}+a^2}=a\sqrt{\frac{3}{2}}=\frac{a\sqrt{6}}{2}$$

Тогда по теореме косинусов $$AB_1^2=AO^2+B_1O^2-2AO*B_1O*cos(AOB_1)$$

Используем тот факт, что угол между прямыми равен углу между векторами, направляющими эти прямые.

Возьмем точку $$K$$ на $$AC$$ такую, что $$AK = 1$$. Тогда $$K = (\frac{a}{\sqrt{2}}, \frac{a}{\sqrt{2}}, 0)$$

Рассмотрим вектор $$\vec{AK}$$.

Заметим, что $$AK = \frac{a\sqrt{2}}{2}$$.

Ответ: $$45^{\circ}$$

Искомый угол между прямыми $$AC$$ и $$BB_1$$ будет равен $$45$$ градусам.

Ответ: 45