В кубе ABCDA,B,C,D, найдите тангенс угла между плоскостями А,В,С и BDC1.

Ответ: \(\sqrt{2}\)

Пусть ребро куба равно a. Тогда диагональ основания куба равна \(a\sqrt{2}\). Высота пирамиды, опущенная из точки C₁ на плоскость BDC₁, равна половине диагонали основания, то есть \(\frac{a\sqrt{2}}{2}\).

Тангенс угла между плоскостями ABC и BDC₁ равен отношению высоты пирамиды к расстоянию от основания высоты до прямой пересечения плоскостей, то есть к половине диагонали квадрата:

\[\tan(\alpha) = \frac{\frac{a\sqrt{2}}{2}}{\frac{a\sqrt{2}}{2}} = 1\]

Однако, нам нужен тангенс угла между плоскостью основания и плоскостью BDC₁. Этот угол равен углу между высотой C₁O и прямой OC, где O - центр квадрата ABCD.

Рассмотрим прямоугольный треугольник C₁OC. Катет C₁O равен a (ребро куба), а катет OC равен \(\frac{a\sqrt{2}}{2}\). Тогда тангенс угла C₁CO равен:

\[\tan(\angle C_1CO) = \frac{C_1O}{OC} = \frac{a}{\frac{a\sqrt{2}}{2}} = \frac{2}{\sqrt{2}} = \sqrt{2}\]

Ответ: \(\sqrt{2}\)