В кубе А...D₁ найдите угол между прямой BD₁ и плоскостью BCC₁.

Привет! Давай разберем эту задачу по геометрии вместе. Сначала определим, что такое угол между прямой и плоскостью. Это угол между прямой и ее проекцией на эту плоскость.

В кубе \(ABCDA_1B_1C_1D_1\) нам нужно найти угол между прямой \(BD_1\) и плоскостью \(BCC_1\).

1. Найдем проекцию прямой \(BD_1\) на плоскость \(BCC_1\).

Проекцией точки \(D_1\) на плоскость \(BCC_1\) является точка \(C_1\). Точка \(B\) уже лежит в плоскости \(BCC_1\), поэтому проекция прямой \(BD_1\) на плоскость \(BCC_1\) — это прямая \(BC_1\).

2. Определим угол между прямой \(BD_1\) и ее проекцией \(BC_1\).

Искомый угол — это угол \(\angle D_1BC_1\). Рассмотрим прямоугольный треугольник \(D_1BC_1\). В этом треугольнике \(\angle BC_1D_1 = 90^\circ\).

3. Найдем стороны треугольника \(D_1BC_1\).

• \(BC_1\) — диагональ грани куба. Если ребро куба равно \(a\), то \(BC_1 = a\sqrt{2}\).
• \(D_1C_1 = a\) — ребро куба.

4. Найдем тангенс угла \(\angle D_1BC_1\).

\[\tan(\angle D_1BC_1) = \frac{D_1C_1}{BC_1} = \frac{a}{a\sqrt{2}} = \frac{1}{\sqrt{2}} = \frac{\sqrt{2}}{2}\]

5. Определим угол \(\angle D_1BC_1\).

Угол, тангенс которого равен \(\frac{\sqrt{2}}{2}\), равен \(35.26^\circ\) или примерно \(35^\circ\).

Ответ: Угол между прямой \(BD_1\) и плоскостью \(BCC_1\) равен \(35^\circ\).

Ты молодец! У тебя всё получится!