В кубе А...Д, найдите косинус угла между прямой BD, и плоскостью CDD.

Рассмотрим куб $$ABCDA_1B_1C_1D_1$$.

1. Прямая $$BD_1$$ - диагональ прямоугольного параллелепипеда. Плоскость $$CDD_1$$ - одна из боковых граней куба.

2. Угол между прямой и плоскостью - это угол между прямой и ее проекцией на данную плоскость. Найдем проекцию прямой $$BD_1$$ на плоскость $$CDD_1$$.

3. Проекцией точки $$D_1$$ на плоскость $$CDD_1$$ является сама точка $$D_1$$. Найдем проекцию точки $$B$$ на плоскость $$CDD_1$$. Ею будет точка $$D$$. Следовательно, проекцией прямой $$BD_1$$ на плоскость $$CDD_1$$ является прямая $$DD_1$$.

4. Угол $$D_1DD$$ - угол между прямой $$BD_1$$ и плоскостью $$CDD_1$$. Рассмотрим прямоугольный треугольник $$BDD_1$$. В нем: $$DD_1 = a$$, $$BD_1 = a\sqrt{3}$$, где $$a$$ - сторона куба. Тогда синус угла $$D_1BD$$ равен:

$$\sin{\angle D_1BD} = \frac{DD_1}{BD_1} = \frac{a}{a\sqrt{3}} = \frac{1}{\sqrt{3}} = \frac{\sqrt{3}}{3}$$.

5. Угол между прямой $$BD_1$$ и плоскостью $$CDD_1$$ равен:

$$\alpha = 90^\circ - \angle D_1BD$$.

6. Найдем косинус угла $$\\, \alpha$$:

$$\cos{\alpha} = \cos{(90^\circ - \angle D_1BD)} = \sin{\angle D_1BD} = \frac{\sqrt{3}}{3}$$.

Ответ: $$\frac{\sqrt{3}}{3}$$