7. В кубе А...Д, найдите тангенс угла между прямой СА, и плоскостью BDD,.

Рассмотрим куб $$ABCDA_1B_1C_1D_1$$.

1. Прямая $$CA_1$$ и плоскость $$BDD_1$$ образуют угол, равный углу между прямой $$CA_1$$ и ее проекцией на плоскость $$BDD_1$$.

2. Найдем проекцию прямой $$CA_1$$ на плоскость $$BDD_1$$.

3. Проекцией точки $$C$$ является точка $$O$$, где $$O$$ - точка пересечения диагоналей квадрата $$ABCD$$.

4. Проекцией точки $$A_1$$ является точка $$O_1$$, где $$O_1$$ - точка пересечения диагоналей квадрата $$A_1B_1C_1D_1$$.

5. Тогда проекция прямой $$CA_1$$ на плоскость $$BDD_1B_1$$ - это прямая $$OO_1$$, которая лежит в плоскости $$BDD_1B_1$$.

6. Значит, угол между прямой $$CA_1$$ и плоскостью $$BDD_1B_1$$ равен углу $$CA_1O$$.

7. Рассмотрим прямоугольный треугольник $$COA_1$$.

8. $$CO = \frac{a\sqrt{2}}{2}$$, $$OA_1 = \frac{a\sqrt{2}}{2}$$, $$CA_1 = a\sqrt{2}$$.

9. Найдем $$tg \angle CA_1O = \frac{CO}{OA_1} = \frac{\frac{a\sqrt{2}}{2}}{a\sqrt{3}} = \frac{a\sqrt{2}}{2a\sqrt{3}} = \frac{\sqrt{2}}{2\sqrt{3}} = \frac{\sqrt{6}}{6}$$

Ответ: $$\frac{\sqrt{6}}{6}$$