В кубе А...Д, найдите угол между ду прямой А₁С и плоскостью BCC₁.

Решение:

1. Для начала, определим, что такое угол между прямой и плоскостью. Это угол между прямой и её проекцией на эту плоскость.
2. В нашем случае, прямая — A₁C, а плоскость — BCC₁.
3. Чтобы найти проекцию A₁C на плоскость BCC₁, нам нужно опустить перпендикуляр из точки A₁ на эту плоскость. Этот перпендикуляр попадёт в точку B₁.
4. Таким образом, проекцией A₁C на плоскость BCC₁ будет отрезок B₁C.
5. Теперь нам нужно найти угол между A₁C и B₁C, то есть угол A₁CB₁.
6. Заметим, что треугольник A₁B₁C — прямоугольный, так как A₁B₁ перпендикулярна B₁C (поскольку A₁B₁ — ребро куба, а B₁C лежит в плоскости BCC₁).
7. Пусть сторона куба равна a. Тогда A₁B₁ = a, B₁C = a (диагональ квадрата BCC₁B₁).
8. Теперь рассмотрим прямоугольный треугольник A₁B₁C. Мы знаем, что A₁B₁ = a и B₁C = a.
9. Найдём тангенс угла A₁CB₁: tan(A₁CB₁) = A₁B₁ / B₁C = a / (a) = 1.
10. Угол, тангенс которого равен 1, — это угол 45°.

Ответ: 45°