В кубе с ребром 3см проделали параллельно ребрам 3 сквозных квадратных отверстия со сторонами 1см. Найдите объем оставшейся части куба?

Привет! Давай разберемся с этой задачкой по геометрии. Кажется, что сложно, но на самом деле все просто, если представить себе куб.

Дано:

• Куб с ребром a = 3 см.
• 3 сквозных квадратных отверстия со стороной b = 1 см, параллельных ребрам.

Найти:

• Объем оставшейся части куба.

Решение:

Сначала найдем объем всего куба. Формула для объема куба:

• \[ V_{\text{куба}} = a^3 \]

Подставляем значение ребра:

• \[ V_{\text{куба}} = 3^3 = 3 \times 3 \times 3 = 27 \text{ см}^3 \]

Теперь разберемся с отверстиями. У нас три отверстия, и каждое из них — это, по сути, вытянутый кубик с основанием 1 см на 1 см и длиной, равной ребру куба (3 см).

Объем одного такого отверстия:

• \[ V_{\text{отверстия}} = b^2 \times a = 1^2 \times 3 = 1 \times 3 = 3 \text{ см}^3 \]

Если мы просто вычтем объем трех таких отверстий из объема куба, то ошибимся. Почему? Потому что там, где отверстия пересекаются, мы вычтем объем несколько раз.

Представь, что три отверстия проходят через центр куба, параллельно его ребрам. Они пересекаются в центральном кубике размером 1х1х1 см. Этот центральный кубик мы вычли три раза, хотя нужно было вычесть только один раз.

Значит, нам нужно добавить обратно объем тех частей, которые мы вычли лишний раз. Это три кубика размером 1х1х1 см, которые образовались на пересечениях.

Итоговый объем:

• Объем куба минус объем трех отверстий плюс объем пересечений (чтобы компенсировать лишнее вычитание):
• \[ V_{\text{оставшейся части}} = V_{\text{куба}} - 3 \times V_{\text{отверстия}} + 3 \times V_{\text{пересечения}} \]
• \[ V_{\text{пересечения}} = 1^3 = 1 \text{ см}^3 \]
• \[ V_{\text{оставшейся части}} = 27 - 3 \times 3 + 3 \times 1 \]
• \[ V_{\text{оставшейся части}} = 27 - 9 + 3 \]
• \[ V_{\text{оставшейся части}} = 18 + 3 = 21 \text{ см}^3 \]

Ответ: 21 сантиметров.