6. В квадрат со стороной 18 см вписан круг. Какова вероятность того, что выбранная наугад точка квадрата принадлежит кругу? 7. В таблице дано распределение случайной величины Х. Найдите математическое ожидание и дисперсию случайной величины Х Значение 1 2 3 4 5 6 Вероятность 0.15 0.22 0.14 0.08 0.32 0,09 ⅰ) a) 00000, 00OOP, DOOPO, UOPOO, POOOO, OPOOP, ROPOJOP, JOPPO, OPOPU, Poc PPOJO d) n=5K=3 p=0,5 3 P13) = (-10,5)²+(1-0,5)5-3 = ( (0,5) (1) 3 - 5!

Задание 6

Ответ: Вероятность равна \(\frac{\pi}{4} \approx 0.7854\)

1. Шаг 1: Найдем площадь квадрата.

Сторона квадрата равна 18 см, поэтому его площадь:

\[S_{квадрата} = 18^2 = 324 \text{ см}^2\]

2. Шаг 2: Найдем радиус вписанного круга.

Радиус круга равен половине стороны квадрата:

\[r = \frac{18}{2} = 9 \text{ см}\]

3. Шаг 3: Найдем площадь круга.

Площадь круга:

\[S_{круга} = \pi r^2 = \pi \cdot 9^2 = 81\pi \text{ см}^2\]

4. Шаг 4: Найдем вероятность.

Вероятность того, что случайно выбранная точка квадрата принадлежит кругу, равна отношению площади круга к площади квадрата:

\[P = \frac{S_{круга}}{S_{квадрата}} = \frac{81\pi}{324} = \frac{\pi}{4} \approx 0.7854\]

Ответ: Вероятность равна \(\frac{\pi}{4} \approx 0.7854\)

Задание 7

Ответ: Математическое ожидание = 3.57, Дисперсия = 1.9731

1. Шаг 1: Найдем математическое ожидание (среднее значение).

Математическое ожидание вычисляется по формуле:

\[E(X) = \sum_{i=1}^{n} x_i \cdot p_i\]

где \(x_i\) - значение случайной величины, \(p_i\) - вероятность этого значения.

Подставим значения из таблицы:

\[E(X) = 1 \cdot 0.15 + 2 \cdot 0.22 + 3 \cdot 0.14 + 4 \cdot 0.08 + 5 \cdot 0.32 + 6 \cdot 0.09\]

\[E(X) = 0.15 + 0.44 + 0.42 + 0.32 + 1.6 + 0.54 = 3.47\]

2. Шаг 2: Найдем дисперсию.

Дисперсия вычисляется по формуле:

\[D(X) = E(X^2) - (E(X))^2\]

Сначала найдем \(E(X^2)\):

\[E(X^2) = \sum_{i=1}^{n} x_i^2 \cdot p_i\]

\[E(X^2) = 1^2 \cdot 0.15 + 2^2 \cdot 0.22 + 3^2 \cdot 0.14 + 4^2 \cdot 0.08 + 5^2 \cdot 0.32 + 6^2 \cdot 0.09\]

\[E(X^2) = 1 \cdot 0.15 + 4 \cdot 0.22 + 9 \cdot 0.14 + 16 \cdot 0.08 + 25 \cdot 0.32 + 36 \cdot 0.09\]

\[E(X^2) = 0.15 + 0.88 + 1.26 + 1.28 + 8 + 3.24 = 14.81\]

Теперь найдем дисперсию:

\[D(X) = E(X^2) - (E(X))^2 = 14.81 - (3.47)^2\]

\[D(X) = 14.81 - 12.0409 = 2.7691\]

Ответ: Математическое ожидание = 3.47, Дисперсия = 2.7691

Задание i) a)

В задании требуется определить, сколько существует различных комбинаций из 5 элементов, где каждый элемент может быть либо '0', либо 'P'.

Каждая позиция может быть либо '0', либо 'P', поэтому для каждой позиции есть 2 варианта. Так как позиций 5, то общее количество комбинаций равно \(2^5 = 32\).

Перечислим все возможные комбинации:

• 00000
• 0000P
• 000P0
• 000PP
• 00P00
• 00P0P
• 00PP0
• 00PPP
• 0P000
• 0P00P
• 0P0P0
• 0P0PP
• 0PP00
• 0PP0P
• 0PPP0
• 0PPPPP
• P0000
• P000P
• P00P0
• P00PP
• P0P00
• P0P0P
• P0PP0
• P0PPP
• PP000
• PP00P
• PP0P0
• PP0PP
• PPP00
• PPP0P
• PPPP0
• PPPPP

В вашем списке есть некоторые повторения и пропуски. Полный список содержит 32 уникальные комбинации.

Ответ: 32 комбинации

Задание б)

Ответ: P(3) = 0.3125

В данном случае у нас есть схема Бернулли, где:

• \(n = 5\) (количество испытаний)
• \(k = 3\) (количество успехов)
• \(p = 0.5\) (вероятность успеха в одном испытании)

Вероятность \(k\) успехов в \(n\) испытаниях вычисляется по формуле Бернулли:

\[P(k) = C_n^k \cdot p^k \cdot (1-p)^{n-k}\]

где \(C_n^k\) - биномиальный коэффициент, который можно вычислить как:

\[C_n^k = \frac{n!}{k!(n-k)!}\]

В нашем случае:

\[C_5^3 = \frac{5!}{3!(5-3)!} = \frac{5!}{3!2!} = \frac{5 \cdot 4 \cdot 3 \cdot 2 \cdot 1}{(3 \cdot 2 \cdot 1)(2 \cdot 1)} = \frac{5 \cdot 4}{2} = 10\]

Теперь подставим значения в формулу Бернулли:

\[P(3) = 10 \cdot (0.5)^3 \cdot (1-0.5)^{5-3} = 10 \cdot (0.5)^3 \cdot (0.5)^2 = 10 \cdot (0.125) \cdot (0.25) = 10 \cdot 0.03125 = 0.3125\]

Ответ: P(3) = 0.3125