В любой точке x ∈ R найдите производную функции (4.30–4.31)

Пошаговое решение:

• Задание: Найти производную функции в любой точке x ∈ R.
• Общий принцип: Производная функции показывает скорость изменения этой функции. Для степенных функций \( y = x^n \), производная равна \( y' = nx^{n-1} \). Для произведения функций \( (u · v)' = u' · v + u · v' \).
• а) \( y = (x^2 + 3x)(x - 1) \)
  Пусть \( u = x^2 + 3x \) и \( v = x - 1 \>. Тогда \( u' = 2x + 3 \) и \( v' = 1 \>.
  \( y' = (2x + 3)(x - 1) + (x^2 + 3x)(1) \)
  \( y' = 2x^2 - 2x + 3x - 3 + x^2 + 3x \)
  \( y' = 3x^2 + 4x - 3 \)
• б) \( y = (5x^2 - 3x + 2)(3x + 2) \)
  Пусть \( u = 5x^2 - 3x + 2 \) и \( v = 3x + 2 \>. Тогда \( u' = 10x - 3 \) и \( v' = 3 \>.
  \( y' = (10x - 3)(3x + 2) + (5x^2 - 3x + 2)(3) \)
  \( y' = 30x^2 + 20x - 9x - 6 + 15x^2 - 9x + 6 \)
  \( y' = 45x^2 - 2x \)
• в) \( y = (-x^2 + 2)(3x^2 + 2x) \)
  Пусть \( u = -x^2 + 2 \) и \( v = 3x^2 + 2x \>. Тогда \( u' = -2x \) и \( v' = 6x + 2 \>.
  \( y' = (-2x)(3x^2 + 2x) + (-x^2 + 2)(6x + 2) \)
  \( y' = -6x^3 - 4x^2 - 6x^3 - 2x^2 + 12x + 4 \)
  \( y' = -12x^3 - 6x^2 + 12x + 4 \)
• г) \( y = x^4 \)
  \( y' = 4x^{4-1} = 4x^3 \)
• б) \( y = x^5 \)
  \( y' = 5x^{5-1} = 5x^4 \)
• в) \( y = x^6 \)
  \( y' = 6x^{6-1} = 6x^5 \)
• г) \( y = x^7 \)
  \( y' = 7x^{7-1} = 7x^6 \)
• б) \( y = (x^2 - 8x)(x - 2) \)
  Пусть \( u = x^2 - 8x \) и \( v = x - 2 \>. Тогда \( u' = 2x - 8 \) и \( v' = 1 \>.
  \( y' = (2x - 8)(x - 2) + (x^2 - 8x)(1) \)
  \( y' = 2x^2 - 4x - 8x + 16 + x^2 - 8x \)
  \( y' = 3x^2 - 20x + 16 \)
• г) \( y = (5x^2 + 3x + 2)(3x - 2) \)
  Пусть \( u = 5x^2 + 3x + 2 \) и \( v = 3x - 2 \>. Тогда \( u' = 10x + 3 \) и \( v' = 3 \>.
  \( y' = (10x + 3)(3x - 2) + (5x^2 + 3x + 2)(3) \)
  \( y' = 30x^2 - 20x + 9x - 6 + 15x^2 + 9x + 6 \)
  \( y' = 45x^2 - 2x \)
• е) \( y = (4x^2 + 6x - 1)(x^2 - 3) \)
  Пусть \( u = 4x^2 + 6x - 1 \) и \( v = x^2 - 3 \>. Тогда \( u' = 8x + 6 \) и \( v' = 2x \>.
  \( y' = (8x + 6)(x^2 - 3) + (4x^2 + 6x - 1)(2x) \)
  \( y' = 8x^3 - 24x + 6x^2 - 18 + 8x^3 + 12x^2 - 2x \)
  \( y' = 16x^3 + 18x^2 - 26x - 18 \)