В магазин привезли 25 ящиков с яблоками и виноградом. Масса каждого ящика с яблоками составляет 12 кг, а каждого ящика с виноградом — 8 кг. Определите, сколько ящиков с виноградом могли привезти в магазин, если известно, что общая масса всех ящиков не менее 250 кг, но не более 270 кг. Найдите все возможные варианты.

Решение: Пусть $$x$$ — количество ящиков с виноградом. Тогда количество ящиков с яблоками равно $$25 - x$$. Общая масса всех ящиков составляет $$8x + 12(25 - x)$$ кг. По условию, общая масса находится в пределах от 250 кг до 270 кг, то есть $$250 \le 8x + 12(25 - x) \le 270$$. Раскроем скобки: $$250 \le 8x + 300 - 12x \le 270$$. Упростим выражение: $$250 \le 300 - 4x \le 270$$. Вычтем 300 из всех частей неравенства: $$-50 \le -4x \le -30$$. Разделим все части неравенства на -4, не забыв изменить знаки неравенств: $$\frac{-50}{-4} \ge x \ge \frac{-30}{-4}$$. Упростим: $$12.5 \ge x \ge 7.5$$. Поскольку $$x$$ — целое число (количество ящиков), то возможные значения $$x$$ равны 8, 9, 10, 11, 12. Таким образом, в магазин могли привезти 8, 9, 10, 11 или 12 ящиков с виноградом. Проверим каждый вариант: - Если 8 ящиков с виноградом, то 17 ящиков с яблоками. Общая масса: $$8 \cdot 8 + 17 \cdot 12 = 64 + 204 = 268$$ кг (подходит). - Если 9 ящиков с виноградом, то 16 ящиков с яблоками. Общая масса: $$9 \cdot 8 + 16 \cdot 12 = 72 + 192 = 264$$ кг (подходит). - Если 10 ящиков с виноградом, то 15 ящиков с яблоками. Общая масса: $$10 \cdot 8 + 15 \cdot 12 = 80 + 180 = 260$$ кг (подходит). - Если 11 ящиков с виноградом, то 14 ящиков с яблоками. Общая масса: $$11 \cdot 8 + 14 \cdot 12 = 88 + 168 = 256$$ кг (подходит). - Если 12 ящиков с виноградом, то 13 ящиков с яблоками. Общая масса: $$12 \cdot 8 + 13 \cdot 12 = 96 + 156 = 252$$ кг (подходит). Ответ: 8, 9, 10, 11, 12 ящиков с виноградом.