В магазине продаются пирожные по 4 и 5 штук в упаковке. Елизавета Станиславовна хочет купить несколько упаковок своим ученикам так, чтобы каждому досталось ровно по одному пирожному и лишних пирожных не осталось. При каком наибольшем количестве учеников в классе у неё не получится это сделать?

Решение:

Елизавете Станиславовне нужно купить такое количество пирожных, которое делится без остатка и на 4, и на 5. Это значит, что общее количество пирожных должно быть кратно наименьшему общему кратному (НОК) чисел 4 и 5.

Найдем НОК(4, 5):

Разложим числа на простые множители: 4 = 2 \( \times \) 2, 5 = 5. ЧИСла 4 и 5 взаимно простые.

НОК(4, 5) = 4 \( \times \) 5 = 20.

Таким образом, общее количество пирожных должно быть кратно 20 (20, 40, 60, 80, ...). При таком количестве пирожных, сколько бы учеников ни было (при условии, что их количество является делителем общего числа пирожных), каждому достанется ровно по одному пирожному, и лишних не останется. Задача заключается в том, чтобы найти наибольшее количество учеников, для которого такое распределение НЕ получится.

Это означает, что нам нужно найти наибольшее число, которое НЕ делится ни на 4, ни на 5, но при этом из него можно собрать упаковки по 4 или 5 штук, чтобы в итоге каждый ученик получил по одному пирожному, и ничего не осталось. Это противоречивое условие.

Переформулируем задачу: Елизавете нужно купить такое количество пирожных, чтобы оно было равно сумме упаковок по 4 и по 5 штук. Например, купить 2 упаковки по 4 (8 пирожных) или 2 упаковки по 5 (10 пирожных) или 1 упаковку по 4 и 1 упаковку по 5 (9 пирожных). При этом общее количество пирожных должно быть таким, что оно может быть распределено поровну между учениками.

Пусть \( x \) — количество учеников. Пусть \( n_4 \) — количество упаковок по 4 штуки, а \( n_5 \) — количество упаковок по 5 штук. Общее количество пирожных равно \( 4n_4 + 5n_5 \). Это количество должно быть равно \( x \) (то есть \( 4n_4 + 5n_5 = x \)).

Мы хотим найти наибольшее \( x \), для которого НЕ существует таких \( n_4 \) и \( n_5 \), что \( 4n_4 + 5n_5 = x \), ИЛИ для которого \( x \) не является делителем \( 4n_4 + 5n_5 \).

Задача сформулирована некорректно. Вероятно, имеется в виду: при каком наибольшем количестве учеников в классе Елизавете Станиславовне НЕ УДАСТСЯ купить такое количество упаковок (по 4 или 5 штук), чтобы раздать каждому ученику по одному пирожному без остатка?

Это значит, что общее количество пирожных \( P \) должно быть равно \( 4n_4 + 5n_5 \) для каких-то целых \( n_4 \) и \( n_5 \), и при этом \( P \) должно делиться на \( x \), то есть \( P = kx \) для какого-то целого \( k \). Так как каждому достается по одному пирожному, \( k=1 \), значит \( P = x \).

Следовательно, мы ищем наибольшее число \( x \), которое НЕЛЬЗЯ представить в виде \( 4n_4 + 5n_5 \) для неотрицательных целых \( n_4 \) и \( n_5 \). Это задача о так называемом «денежном ящике» или задаче Фробениуса.

Для двух взаимно простых чисел \( a \) и \( b \), наибольшее число, которое нельзя представить в виде \( ax + by \) (где \( x, y \) — неотрицательные целые числа), равно \( ab - a - b \).

В нашем случае \( a = 4 \) и \( b = 5 \). Наибольшее число, которое нельзя представить в виде \( 4n_4 + 5n_5 \), равно:

\[ 4 \times 5 - 4 - 5 = 20 - 4 - 5 = 11 \]

Таким образом, наибольшее количество учеников, при котором Елизавете Станиславовне не удастся купить пирожные так, чтобы каждому досталось ровно по одному и не осталось лишних, равно 11.

Проверим:

• Число 11 нельзя представить в виде \( 4n_4 + 5n_5 \) для неотрицательных \( n_4, n_5 \).
• Числа, которые НЕЛЬЗЯ получить: 1, 2, 3, 6, 7, 11.
• Все остальные числа больше 11 можно получить: 12 (4*3), 13 (4*2+5), 14 (4*1+5*2), 15 (5*3), 16 (4*4), 17 (4*3+5), 18 (4*2+5*2), 19 (4*1+5*3), 20 (4*5 или 5*4).

Следовательно, наибольшее количество учеников, для которого не получится купить пирожные по условию, равно 11.

Ответ: 11