В маленькой деревне всего 17 домов. Может ли быть так, что у каждого дома 1, 3 или 5 соседей?

Решение:

Пусть каждый дом имеет \(k\) соседей. Тогда общее количество «соседств» между домами можно подсчитать двумя способами:

1. Если мы просуммируем количество соседей у каждого дома, то получим \( 17 \cdot k \).
2. Каждое соседство между двумя домами подсчитывается дважды (дом А является соседом дома Б, и дом Б является соседом дома А). Поэтому общее количество соседств равно \( \frac{17 \cdot k}{2} \).

Таким образом, \( 17 \cdot k \) должно быть чётным числом, чтобы \( \frac{17 \cdot k}{2} \) было целым числом.

Рассмотрим предложенные варианты для \( k \):

• Если \( k = 1 \), то \( 17 \cdot 1 = 17 \), что является нечётным числом.
• Если \( k = 3 \), то \( 17 \cdot 3 = 51 \), что является нечётным числом.
• Если \( k = 5 \), то \( 17 \cdot 5 = 85 \), что является нечётным числом.

Поскольку во всех случаях произведение \( 17 \cdot k \) является нечётным, то общее количество соседств \( \frac{17 \cdot k}{2} \) не может быть целым числом.

Ответ: Нет, не может.