В мензурку налили воду массой m=100 г и глицерин массой m=270 г. Массы компонентов имеют абсолютную погрешность в 1 г. Плотность воды считайте равной ρ=1000 кг/м³, а плотность глицерина - ρ=1250 кг/м³. 1. Рассчитайте суммарный объём смешиваемых компонентов. Выразите результат в миллилитрах. 2. Рассчитайте абсолютную погрешность суммарного объёма смешиваемых компонентов как сумму абсолютной погрешности объёма воды и абсолютной погрешности объёма глицерина. Кратко поясните вычисления. 3. Объём смеси получился равным V=313 мл. Можно ли с учётом погрешности говорить о том, что суммарный объём смешиваемых компонентов больше объёма смеси? Свой ответ обоснуйте.

Решение:

Для начала переведем все величины в систему СИ, чтобы потом было удобнее считать.

Масса воды: m_в = 100 г = 0.1 кг

Масса глицерина: m_г = 270 г = 0.27 кг

Абсолютная погрешность массы: Δm = 1 г = 0.001 кг

Плотность воды: ρ_в = 1000 кг/м³

Плотность глицерина: ρ_г = 1250 кг/м³

1. Расчет суммарного объёма смешиваемых компонентов:

Сначала найдем объемы каждого компонента по формуле: V = m / ρ

• Объем воды:
  \[ V_в = \frac{m_в}{\rho_в} = \frac{0.1 \text{ кг}}{1000 \text{ кг/м}^3} = 0.0001 \text{ м}^3 \]


• Объем глицерина:
  \[ V_г = \frac{m_г}{\rho_г} = \frac{0.27 \text{ кг}}{1250 \text{ кг/м}^3} = 0.000216 \text{ м}^3 \]

Суммарный объём: V_сум = V_в + V_г

\[ V_{\text{сум}} = 0.0001 \text{ м}^3 + 0.000216 \text{ м}^3 = 0.000316 \text{ м}^3 \]

Переведем кубические метры в миллилитры. Мы знаем, что 1 м³ = 1 000 000 мл.

\[ V_{\text{сум}} = 0.000316 \text{ м}^3 \times 1 000 000 \text{ мл/м}^3 = 316 \text{ мл} \]

Ответ: 316 мл

2. Расчет абсолютной погрешности суммарного объёма:

Абсолютная погрешность объёма вычисляется как:

ΔV = V * (Δm/m + Δρ/ρ), где Δm и Δρ — абсолютные погрешности массы и плотности соответственно.

Сначала найдем погрешности объемов каждого компонента:

• Погрешность объема воды:
  \[ \Delta V_в = V_в \times \left( \frac{\Delta m}{m_в} + \frac{\Delta \rho_в}{\rho_в} \right) \]


• Погрешность объема глицерина:
  \[ \Delta V_г = V_г \times \left( \frac{\Delta m}{m_г} + \frac{\Delta \rho_г}{\rho_г} \right) \]

Поскольку в условии даны относительные погрешности масс, то есть Δm = 1 г, а массы m_в = 100 г и m_г = 270 г, то относительные погрешности масс будут:

Δm/m_в = 1/100 = 0.01

Δm/m_г = 1/270 ≈ 0.0037

Абсолютная погрешность плотности обычно мала (например, 1 кг/м³), но в условии она не указана, поэтому будем считать, что погрешностью плотности можно пренебречь. В таком случае погрешность объема будет равна погрешности массы, деленной на плотность:

• Погрешность объема воды:
  \[ \Delta V_в = \frac{\Delta m}{\rho_в} = \frac{0.001 \text{ кг}}{1000 \text{ кг/м}^3} = 0.000001 \text{ м}^3 \]


• Погрешность объема глицерина:
  \[ \Delta V_г = \frac{\Delta m}{\rho_г} = \frac{0.001 \text{ кг}}{1250 \text{ кг/м}^3} = 0.0000008 \text{ м}^3 \]

Абсолютная погрешность суммарного объёма равна сумме абсолютных погрешностей объёмов компонентов:

ΔV_сум = ΔV_в + ΔV_г

\[ \Delta V_{\text{сум}} = 0.000001 \text{ м}^3 + 0.0000008 \text{ м}^3 = 0.0000018 \text{ м}^3 \]

Переведем в миллилитры:

\[ \Delta V_{\text{сум}} = 0.0000018 \text{ м}^3 \times 1 000 000 \text{ мл/м}^3 = 1.8 \text{ мл} \]

Ответ: 1.8 мл

Пояснение: Абсолютная погрешность суммарного объёма рассчитывается как сумма абсолютных погрешностей объёмов отдельных компонентов. Мы нашли объем каждого компонента, затем рассчитали погрешность измерения его массы, а так как погрешность плотности не дана, мы считаем её нулевой. Относительная погрешность массы (1 г / 100 г или 1 г / 270 г) умножается на объем, чтобы получить абсолютную погрешность объёма. Суммировав погрешности объёмов, получаем итоговую погрешность суммарного объёма.

3. Сравнение суммарного объёма и объёма смеси:

У нас есть:

• Суммарный объём смешиваемых компонентов (с учётом погрешности): V_сум = 316 ± 1.8 мл. Это означает, что истинный объём находится в диапазоне от 314.2 мл до 317.8 мл.


• Объём смеси, полученный экспериментально: V_смеси = 313 мл.

Сравнивая полученный диапазон суммарного объёма (314.2 - 317.8 мл) с экспериментальным значением объёма смеси (313 мл), мы видим, что экспериментальное значение находится ниже нижней границы диапазона суммарного объёма.

Вывод: Можно с уверенностью говорить, что суммарный объём смешиваемых компонентов (316 мл с погрешностью ±1.8 мл) больше объёма смеси (313 мл).

Обоснование: Нижняя граница суммарного объёма (314.2 мл) значительно превышает полученный объём смеси (313 мл). Это говорит о том, что при смешивании компонентов происходит уменьшение общего объёма, что характерно для некоторых жидкостей, например, при смешивании воды и спирта.