В мешке лежат красные и зелёные шары. Известно, что красные шары встречаются в мешке с частотой больше, чем 0,08, но меньше, чем 0,085. Какое наименьшее число шаров может быть в мешке?

Пусть количество красных шаров равно $$x$$, а общее количество шаров равно $$y$$. Тогда частота красных шаров равна $$\frac{x}{y}$$. Из условия известно, что:

$$ 0.08 < \frac{x}{y} < 0.085 $$

Или

$$ \frac{8}{100} < \frac{x}{y} < \frac{85}{1000} $$ $$ \frac{2}{25} < \frac{x}{y} < \frac{17}{200} $$

Чтобы найти наименьшее число шаров, нужно найти такое наименьшее натуральное число $$y$$, чтобы между $$\frac{2}{25}$$ и $$\frac{17}{200}$$ существовала дробь со знаменателем $$y$$.

Представим дроби $$\frac{2}{25}$$ и $$\frac{17}{200}$$ в виде десятичных дробей:

$$\frac{2}{25} = 0.08$$ $$\frac{17}{200} = 0.085$$

Для нахождения подходящего значения $$y$$ можно перебирать значения, начиная с небольших чисел.

Преобразуем неравенство:

$$ 0.08 < \frac{x}{y} < 0.085 $$ $$ 0.08y < x < 0.085y $$

Перебираем значения $$y$$:

• Если $$y = 1, 2, ..., 11$$, то интервал $$(0.08y; 0.085y)$$ не содержит целых чисел.
• Если $$y = 12$$, то $$0.08 \cdot 12 = 0.96$$ и $$0.085 \cdot 12 = 1.02$$. Интервал $$(0.96; 1.02)$$ не содержит целых чисел.
• Если $$y = 13$$, то $$0.08 \cdot 13 = 1.04$$ и $$0.085 \cdot 13 = 1.105$$. Интервал $$(1.04; 1.105)$$ не содержит целых чисел.
• Если $$y = 14$$, то $$0.08 \cdot 14 = 1.12$$ и $$0.085 \cdot 14 = 1.19$$. Интервал $$(1.12; 1.19)$$ не содержит целых чисел.
• Если $$y = 15$$, то $$0.08 \cdot 15 = 1.2$$ и $$0.085 \cdot 15 = 1.275$$. Интервал $$(1.2; 1.275)$$ не содержит целых чисел.
• Если $$y = 16$$, то $$0.08 \cdot 16 = 1.28$$ и $$0.085 \cdot 16 = 1.36$$. Интервал $$(1.28; 1.36)$$ не содержит целых чисел.
• Если $$y = 17$$, то $$0.08 \cdot 17 = 1.36$$ и $$0.085 \cdot 17 = 1.445$$. Интервал $$(1.36; 1.445)$$ не содержит целых чисел.
• Если $$y = 18$$, то $$0.08 \cdot 18 = 1.44$$ и $$0.085 \cdot 18 = 1.53$$. Интервал $$(1.44; 1.53)$$ не содержит целых чисел.
• Если $$y = 19$$, то $$0.08 \cdot 19 = 1.52$$ и $$0.085 \cdot 19 = 1.615$$. Интервал $$(1.52; 1.615)$$ не содержит целых чисел.
• Если $$y = 20$$, то $$0.08 \cdot 20 = 1.6$$ и $$0.085 \cdot 20 = 1.7$$. Интервал $$(1.6; 1.7)$$ не содержит целых чисел.
• Если $$y = 21$$, то $$0.08 \cdot 21 = 1.68$$ и $$0.085 \cdot 21 = 1.785$$. Интервал $$(1.68; 1.785)$$ не содержит целых чисел.
• Если $$y = 22$$, то $$0.08 \cdot 22 = 1.76$$ и $$0.085 \cdot 22 = 1.87$$. Интервал $$(1.76; 1.87)$$ не содержит целых чисел.
• Если $$y = 23$$, то $$0.08 \cdot 23 = 1.84$$ и $$0.085 \cdot 23 = 1.955$$. Интервал $$(1.84; 1.955)$$ не содержит целых чисел.
• Если $$y = 24$$, то $$0.08 \cdot 24 = 1.92$$ и $$0.085 \cdot 24 = 2.04$$. Интервал $$(1.92; 2.04)$$ содержит целое число 2.

Таким образом, если всего 24 шара, то красных шаров 2.

Проверим:

$$\frac{2}{24} = \frac{1}{12} \approx 0.0833$$ $$ 0.08 < 0.0833 < 0.085 $$

Условие выполняется.

Следовательно, наименьшее число шаров в мешке равно 24.

Ответ: 24