В мешке находится 21 белая перчатка и 26 чёрных перчаток. Перчатки достают из мешка парами. Если достали пару перчаток одного цвета, то в мешок кладут чёрную перчатку. Если достали пару перчаток разного цвета, то в мешок кладут белую перчатку. Какого цвета окажется перчатка, которая останется в мешке последней?

Решение:

Задача основана на свойстве инварианта. Рассмотрим чётность количества перчаток каждого цвета. Изначально в мешке 21 белая и 26 чёрных перчаток.

1. Случай 1: Достали пару одного цвета.
   - Если достали две белые перчатки, то их стало на 2 меньше. Затем положили одну чёрную. Изменение: -2 белых, +1 чёрная. Общее число перчаток уменьшилось на 1. Чётность белых перчаток изменилась (чётное стало нечётным, нечётное стало чётным). Чётность чёрных перчаток изменилась.
2. Случай 2: Достали пару разных цветов.
   - Если достали одну белую и одну чёрную, то их стало на 1 меньше. Затем положили одну белую. Изменение: -1 белая, -1 чёрная, +1 белая. В итоге: 0 белых, -1 чёрная. Общее число перчаток уменьшилось на 1. Чётность белых перчаток изменилась. Чётность чёрных перчаток изменилась.

В обоих случаях чётность количества белых и чёрных перчаток меняется.

Изначально: 21 (нечётное) белая, 26 (чётное) чёрная.

После любого действия, количество белых перчаток будет меняться так: нечётное → чётное → нечётное → ...

Когда в мешке останется последняя перчатка, это означает, что до этого момента было извлечено парное количество перчаток.

Рассмотрим чётность количества белых перчаток. Изначально их 21 (нечётное). Каждое действие меняет чётность.

Чтобы осталась одна последняя перчатка, это значит, что все остальные были извлечены парами. Каждое действие уменьшает общее количество перчаток на 1. Если в конце остаётся 1 перчатка, то всего было совершено (21 + 26 - 1) = 46 действий (извлечений пар).

Рассмотрим чётность количества белых перчаток: 21 (нечётное). После первого действия (любого) количество белых станет чётным. После второго — нечётным. После третьего — чётным, и так далее. Если выполнено 46 действий, то чётность меняется 46 раз. Нечётное → Чётное (1 раз) → Нечётное (2 раза) → ... → Чётное (46 раз).

Однако, более простое рассуждение: количество белых перчаток меняется от нечетного (21) к четному, потом к нечетному и так далее. Когда останется одна перчатка, это будет означать, что мы прошли через цепочку изменений чётности.

Поскольку изначально белых перчаток нечётное количество (21), а чёрных — чётное (26), и каждое действие меняет чётность как белых, так и чёрных перчаток, последняя оставшаяся перчатка должна быть того цвета, чьё количество изначально было нечётным, чтобы после всех операций чётность изменилась соответствующим образом, и осталась одна перчатка.

Изначально: Нечётное количество белых, Чётное количество чёрных.

Цель: Останется 1 перчатка.

Каждое действие меняет чётность обоих цветов. Если мы достаем пару одного цвета (например, 2 белые), то белых становится на 2 меньше (чётность не меняется), а кладем 1 чёрную (чётность чёрных меняется). Если достаем пару разного цвета (1 белая, 1 чёрная), то белых становится на 1 меньше (чётность меняется), и кладем 1 белую. Тогда изменение для белых: -1 +1 = 0 (чётность не меняется), а для чёрных: -1 (чётность меняется).

Переосмыслим правило: «Если достали пару перчаток одного цвета, то в мешок кладут чёрную перчатку.»

1. Достали 2 белые. Стало: 21-2=19 белых, 26 чёрных. Положили 1 чёрную. Стало: 19 белых, 27 чёрных. Изменение: -2Б, +1Ч.

2. Достали 2 чёрные. Стало: 21 белая, 26-2=24 чёрных. Положили 1 чёрную. Стало: 21 белая, 25 чёрных. Изменение: -2Ч, +1Ч (т.е. -1Ч).

3. Достали 1 белую и 1 чёрную. Стало: 21-1=20 белых, 26-1=25 чёрных. Положили 1 белую. Стало: 21 белая, 25 чёрных. Изменение: -1Б, -1Ч, +1Б = -1Ч.

Теперь рассмотрим, как меняется чётность:

Изначально: Белые = 21 (Нечётное), Чёрные = 26 (Чётное).

Действие 1 (-2Б, +1Ч): Белые: Н → Ч. Чёрные: Ч → Н.

Действие 2 (-1Ч): Белые: Н → Н. Чёрные: Ч → Н.

Действие 3 (-1Ч): Белые: Н → Н. Чёрные: Ч → Н.

В случае 1 (достали 2 белые), чётность белых меняется с нечётной на чётную. Чётность чёрных меняется с чётной на нечётную.

В случае 2 (достали 2 чёрные), чётность белых остаётся нечётной. Чётность чёрных меняется с чётной на нечётную.

В случае 3 (достали 1 белую и 1 чёрную), чётность белых остаётся нечётной. Чётность чёрных меняется с чётной на нечётную.

Единственное, что остаётся инвариантным (или меняется предсказуемым образом) — это чётность количества белых перчаток. Изначально она нечётная.

В любом действии, если достали пару одного цвета (2Б или 2Ч), то количество перчаток одного цвета уменьшается на 2 (чётность не меняется), а другого — на 1 (чётность меняется). При этом кладут одну перчатку. Это правило некорректно трактовалось.

Правильная трактовка условия:

1. Достали пару одного цвета (2 белые или 2 чёрные).

• Если достали 2 белые: Белых стало 21-2=19. Чёрных 26. В мешок кладут 1 чёрную. Стало: 19 белых, 27 чёрных. Общее кол-во: 19+27=46. Изменение: -2Б, +1Ч.
• Если достали 2 чёрные: Белых 21. Чёрных стало 26-2=24. В мешок кладут 1 чёрную. Стало: 21 белая, 25 чёрных. Общее кол-во: 21+25=46. Изменение: -1Ч.

2. Достали пару разных цветов (1 белая, 1 чёрная).

• Белых стало 21-1=20. Чёрных стало 26-1=25. В мешок кладут 1 белую. Стало: 21 белая, 25 чёрных. Общее кол-во: 21+25=46. Изменение: -1Ч.

Рассмотрим чётность количества белых перчаток:

• Изначально: 21 (Нечётное).
• В случае 1 (достали 2 белые): Белых стало 19 (Нечётное).
• В случае 2 (достали 2 чёрные): Белых осталось 21 (Нечётное).
• В случае 3 (достали 1 белую и 1 чёрную): Белых стало 21 (Нечётное).

Чётность количества белых перчаток всегда остаётся нечётной!

Когда в мешке останется последняя перчатка, это будет означать, что все остальные были извлечены парами. Всего перчаток 21 + 26 = 47. После 23 парных извлечений останется 1 перчатка.

Поскольку количество белых перчаток всегда остаётся нечётным, когда останется последняя перчатка, это может быть только белая перчатка, если она осталась единственной.

Если бы последней осталась чёрная перчатка, это означало бы, что количество белых стало чётным. Но мы доказали, что оно всегда остаётся нечётным.

Следовательно, последняя оставшаяся перчатка — белая.

Проверка:

Пусть мы достаем до тех пор, пока не останется 2 перчатки, а затем посмотрим, что может быть.

Пример: 3 белых, 2 чёрных.

1. Достали 2 белых. Стало 1 белая, 2 чёрных. Положили 1 чёрную. Стало: 1 белая, 3 чёрных.
2. Достали 1 белую и 1 чёрную. Стало: 0 белых, 2 чёрных. Положили 1 белую. Стало: 1 белая, 2 чёрных.
3. Достали 2 чёрных. Стало: 1 белая, 0 чёрных. Положили 1 чёрную. Стало: 1 белая, 1 чёрная.

В итоге имеем 1 белую и 1 чёрную. Чётность белых: 3(Н) -> 1(Н) -> 1(Н) -> 1(Н).

Теперь достаем 1 белую и 1 чёрную. Стало: 0 белых, 0 чёрных. Кладем 1 белую. Стало: 1 белая, 0 чёрных. Последняя - белая.

Изначально: 21 белая (Н), 26 чёрных (Ч).

Если в конце остаётся 1 перчатка, то она должна быть белой, так как чётность количества белых перчаток остаётся неизменной (нечётное).

Ответ: Белого.