В мешке находится 33 белые перчатки и 30 чёрных перчаток. Перчатки достают из мешка парами. Если достали пару перчаток одного цвета, то в мешок кладут чёрную перчатку. Если достали пару перчаток разного цвета, то в мешок кладут белую перчатку. Какого цвета окажется перчатка, которая останется в мешке последней?

1. Изначально в мешке 33 белых и 30 чёрных перчаток. Общее количество перчаток — 63.

2. При извлечении пары одного цвета (например, 2 белых) и добавлении чёрной, общее количество перчаток уменьшается на 1, а количество белых уменьшается на 2, чёрных увеличивается на 1. Таким образом, чётность количества белых перчаток меняется.

3. При извлечении пары разного цвета (1 белая, 1 чёрная) и добавлении белой, общее количество перчаток уменьшается на 1, количество белых не меняется, количество чёрных уменьшается на 1. Таким образом, чётность количества белых перчаток не меняется.

4. Поскольку изначально количество белых перчаток (33) нечётное, и только операция с парой одного цвета меняет чётность белых перчаток, то последняя оставшаяся перчатка будет того цвета, чётность которого не меняется при добавлении чёрной перчатки, если пара была разного цвета. Если же последняя операция была с парой одного цвета, то чётность белых изменится. Однако, независимо от операций, если останется одна перчатка, то количество белых перчаток будет либо 1, либо 0. Если последняя перчатка белая, то до этого было 2 белых. Если последняя чёрная, то до этого было 1 белая и 1 чёрная.

5. Рассмотрим инвариант: чётность количества белых перчаток. Если достали пару одного цвета (2Б или 2Ч), то добавили 1Ч. Если 2Б, то Б стало на 2 меньше, Ч на 1 больше. Если 2Ч, то Б не изменилось, Ч на 1 больше. Если достали пару разного цвета (1Б, 1Ч), то добавили 1Б. Б не изменилось, Ч на 1 меньше. Таким образом, чётность количества белых перчаток меняется только в одном случае (2Б достали). Изначально 33 белых (нечётное). Если последняя перчатка белая, то до этого было 2 белых. Если последняя чёрная, то до этого было 1 белая и 1 чёрная. В любом случае, если остаётся одна перчатка, то количество белых перчаток будет либо 1 (если последняя белая), либо 0 (если последняя чёрная). Так как изначально было нечётное количество белых перчаток, и операция с парой разного цвета не меняет чётность белых, а операция с парой одного цвета меняет чётность белых, то последняя перчатка будет белой.