В многоэтажном доме 385 квартир. При этом число этажей и число квартир на каждом этаже одинаковы во всех подъездах этого дома. Известно, что подъездов в доме более одного. Определите, какое наибольшее число квартир может быть в одном подъезде этого дома.

Пусть $$N$$ - общее число квартир, $$P$$ - число подъездов, $$E$$ - число этажей, $$K$$ - число квартир на этаже в одном подъезде. Тогда $$N = P \times E \times K$$. Нам дано $$N = 385$$. Мы ищем максимальное значение $$P \times E$$, так как $$K = N / (P \times E)$$.

Разложим 385 на множители: $$385 = 5 \times 7 \times 11$$. Поскольку подъездов более одного ($$P > 1$$), и число этажей и квартир на этаже одинаковы во всех подъездах, $$P$$, $$E$$, и $$K$$ должны быть целыми числами. Мы хотим максимизировать $$P \times E$$. Наибольшее произведение двух множителей из разложения 385, при условии, что третий множитель ($$K$$) будет целым числом, достигается, когда $$P \times E$$ является наибольшим делителем 385, отличным от 385.

Наибольший делитель 385, отличный от 385, это $$385 / 5 = 77$$. В этом случае $$P \times E = 77$$ и $$K = 5$$. Возможные пары $$(P, E)$$ для $$P \times E = 77$$ с $$P > 1$$ включают $$(7, 11)$$ или $$(11, 7)$$.