В многоквартирном доме 150 квартир. Известно, что во всех подъездах дома одинаковое число этажей и на любом этаже каждого подъезда одинаковое число квартир (больше одной). Сколько этажей в этом доме, если число квартир на каждом этаже в подъезде в 3 раза меньше числа этажей в доме?

Пусть $$x$$ - количество этажей в доме, а $$y$$ - количество квартир на каждом этаже в подъезде. Тогда количество квартир в одном подъезде равно $$x \cdot y$$. Пусть $$z$$ - количество подъездов в доме. Тогда общее количество квартир в доме равно $$x \cdot y \cdot z = 150$$. Из условия задачи известно, что $$y = \frac{x}{3}$$. Тогда можно переписать уравнение как $$x \cdot \frac{x}{3} \cdot z = 150$$, или $$\frac{x^2}{3} \cdot z = 150$$, что означает $$x^2 \cdot z = 450$$. Так как $$x, y, z$$ - целые числа и $$y > 1$$, то $$x > 3$$. Надо найти такие делители числа 450, чтобы $$x^2$$ был делителем 450, и $$x > 3$$. Разложим 450 на простые множители: $$450 = 2 \cdot 3^2 \cdot 5^2$$. Тогда $$x^2$$ может быть равен 9 или 25. Если $$x^2 = 9$$, то $$x = 3$$, но $$y > 1$$, то есть $$x$$ должно быть больше 3. Если $$x^2 = 25$$, то $$x = 5$$. В этом случае, $$z = 450 / 25 = 18$$. Тогда $$y = x / 3 = 5 / 3$$, что не является целым числом. Попробуем другие варианты. Пусть число этажей будет $$x$$, а число квартир на этаже $$y$$. Число квартир на этаже в 3 раза меньше числа этажей, значит $$y = x/3$$. Пусть подъездов $$z$$. Тогда $$x \cdot y \cdot z = 150$$. Или $$x \cdot (x/3) \cdot z = 150$$, значит $$x^2 \cdot z = 450$$. Разложим 450 на множители: $$450 = 2 \cdot 3^2 \cdot 5^2$$. Если $$x = 15$$, то $$x^2 = 225$$, $$z = 450/225 = 2$$. Тогда $$y = x/3 = 15/3 = 5$$. Получаем $$x=15, y=5, z=2$$. То есть 15 этажей, 5 квартир на этаже, 2 подъезда. Общее число квартир $$15 \cdot 5 \cdot 2 = 150$$. Ответ: $$\mathbf{15}$$