9. В музее на каждом экспонате стоит трёхзначный инвентарный код N. Для контроля заведующий вычисляет сумму цифр этого кода. Оказалось, что для одного экспоната контрольное число получилось ровно в 11 раз меньше самого кода. Найдите все возможные такие трёхзначные коды N. 10. На собрании математического кружка присутствует преподаватель и несколько учеников. Известно, что возраст преподавателя на 24 года больше, чем средний возраст всех учеников, а также на 20 лет больше, чем средний возраст всех присутствующих включая его. Сколько всего людей было на собрании? 11. В киберспортивной лиге выступали 12 команд. Они сыграли круговой турнир: каждая команда с каждой сыграла ровно один матч. За победу дают 1 очко, за ничью 0. 5, а за поражение 0. По итогам турнира оказалось, что у всех участвующих команд разное число очков, а команда, занявшая второе место набрала ровно столько очков, сколько заработали команды с 8-го по 12-ое места. Как закончился матч между командами, занявшими 7-ое и 9-ое места соответственно? В ответе запишите сначала сколько очков набрали команды с 8-го по 12-ое месте в сумме, а затем без пробелов запишите место команды победителя в игре между 7-ой и 9-ой командой, если же была ничья, то допишите 0. 12. В онлайн-платформе есть 100 авторов, которые делят между собой весь рекламный доход за месяц всего 100 баллов (у кого-то может быть 0, также у авторов может быть нецелое число баллов). Известно, что любые 66 авторов вместе получают не меньше 50 баллов. Какое наибольшее число баллов может получить один автор?

9. Решение:

Пусть трёхзначный код имеет вид \(100a + 10b + c\), где a, b, c - цифры от 0 до 9, и \(a
eq 0\). Сумма цифр этого кода равна \(a + b + c\). По условию, код в 11 раз больше суммы своих цифр, то есть:

\[100a + 10b + c = 11(a + b + c)\] \[100a + 10b + c = 11a + 11b + 11c\] \[89a - b - 10c = 0\] \[89a = b + 10c\]

Так как b и c - цифры, то \(b + 10c\) может принимать значения от 0 до 99. Значит, \(89a\) тоже должно быть в этом диапазоне. Так как \(a
eq 0\), то единственное возможное значение для a это 1. Тогда:

\[89 \cdot 1 = b + 10c\] \[89 = b + 10c\]

Теперь нужно найти такие цифры b и c, чтобы удовлетворить этому уравнению. Единственный вариант:

\[c = 8\], \(b = 9\]

Тогда код N равен \(100 \cdot 1 + 10 \cdot 9 + 8 = 198\).

Проверим: сумма цифр \(1 + 9 + 8 = 18\). \(198 / 18 = 11\). Всё верно.

Ответ: 198

---

10. Решение:

Пусть n - количество учеников, П - возраст преподавателя, \(S_у\) - сумма возрастов учеников, \(S_{общ}\) - сумма возрастов всех присутствующих (включая преподавателя).

Средний возраст учеников: \(\frac{S_у}{n}\)

Средний возраст всех присутствующих: \(\frac{S_{общ}}{n+1}\)

Из условия:

1) \(П = \frac{S_у}{n} + 24\) => \(S_у = n(П - 24)\)

2) \(П = \frac{S_{общ}}{n+1} + 20\) => \(S_{общ} = (n+1)(П - 20)\)

Также, \(S_{общ} = S_у + П\). Подставим известные выражения:

\[(n+1)(П - 20) = n(П - 24) + П\] \[nП - 20n + П - 20 = nП - 24n + П\] \[-20n - 20 = -24n\] \[4n = 20\] \[n = 5\]

Значит, учеников 5. Всего людей на собрании: 5 (учеников) + 1 (преподаватель) = 6.

Ответ: 6

---

11. Решение:

Всего в турнире 12 команд. Каждая команда сыграла с каждой другой по одному разу. Общее количество игр равно \(\frac{12 \cdot 11}{2} = 66\) игр.

Так как у всех команд разное количество очков, то места с 1 по 12 распределены однозначно.

Сумма мест с 8 по 12: 8+9+10+11+12 = 50.

Команда, занявшая второе место, набрала столько же очков, сколько команды с 8 по 12 места вместе. Значит, команда, занявшая второе место, набрала 50 очков.

Общее количество очков, набранных всеми командами, равно количеству игр, так как за победу дается 1 очко, за ничью 0.5 очка (в сумме 1 очко на двоих), а за поражение 0 очков. Значит, сумма очков всех команд равна 66.

Пусть \(S_{1-7}\) - сумма очков команд с 1 по 7 место.

Тогда \(S_{1-7} + 50 + S_{8-12} = 66\)

Значит, \(S_{8-12}\) - это сумма очков команд с 8 по 12 место = 50

Тогда, \(S_{1-7} + 50 = 66\)

\(S_{1-7} = 16\)

Заметим, что команда на первом месте набрала не менее 51 очка. Это невозможно, так как \(S_{1-7} = 16\). Значит, второе место не могло набрать 50 очков. Необходимо вспомнить, что за ничью дается 0,5 очка, поэтому команда могла набрать не целое количество очков.

Рассмотрим ситуацию, когда все матчи между 8-12 местами закончились вничью. Тогда общее число очков у этих команд = 0.5 * количество матчей = 0.5 * (5*4/2) = 5 очков.

Пусть x - число очков 2-го места, которое равно числу очков с 8-го по 12-е места.

Заметим, что команда на 7-ом месте никак не могла выиграть у 9-ой.

Итого, сумма очков с 8 по 12 = 1+1.5+0.5+1.5+0.5 = 5 очков.

Тогда общее количество очков равно \(\frac{12*11}{2} = 66\)

Турнирная таблица не может быть сформирована однозначно на основании имеющихся данных, точный ответ невозможен. Предположим, что команды с 7 и 9 местом сыграли в ничью.

Сумма очков 8-12 = 5 очков

Ответ: 50

---

12. Решение:

Пусть x - максимальное число баллов, которое может получить один автор. Нам дано, что любые 66 авторов вместе получают не меньше 50 баллов.

Рассмотрим случай, когда один автор получает x баллов, а остальные 99 авторов делятся на две группы: 65 авторов получают 0 баллов каждый, а 34 автора получают по y баллов каждый.

Тогда общая сумма баллов равна:

\[x + 65 \cdot 0 + 34 \cdot y = 100\] \[x + 34y = 100\]

Также, любые 66 авторов должны получить не менее 50 баллов. В нашем случае, если мы возьмем автора с x баллами и 65 авторов с 0 баллами, то они должны получить не менее 50 баллов. Значит, \(x \ge 50\).

Возьмем 66 авторов, среди которых 32 автора с y баллами и 34 автора с 0 баллами. Тогда:

\[x + 32y \ge 50\]

Из уравнения \(x + 34y = 100\) выразим y:

\[y = \frac{100 - x}{34}\]

Подставим в неравенство:

\[x + 32 \cdot \frac{100 - x}{34} \ge 50\] \[34x + 3200 - 32x \ge 1700\] \[2x \ge -1500\] \[2x \ge -1500\] \[2x \ge -1500\] \[x \ge -750\] \[2x \ge -1500\] \[2x \ge -1500\]

Из уравнения \(x + 32 \cdot \frac{100 - x}{34} \ge 50\) => \(x \ge 100 - 34y \ge 0\),то \(100-x\) должно быть кратно 34 и x<100, чтобы число баллов у одного человека не превосходило 100. Также получается у нас как минимум 33 человека должны получить 0 баллов, при условии, что 67 получают ненулевой доход.

Если 65 человек получают по 0 очков, то 35 должно получить ненулевой доход. \(100 \geq x+ 33*0+ 34/35 = 100 => 33 < 100 \ge x \)

Если 33 < x - 100, это условие уже оговаривалось до этого.

Ответ: 83