В2 На продолжении стороны АР равностороннего треугольника АРТ взята точка К так, что АР = РК. Найдите расстояние от точки Р до прямой ТК, если периметр треугольника АРТ равен 21 см.

Ответ: 3,5 см

1. Найдем сторону равностороннего треугольника APT: Периметр треугольника равен сумме длин всех его сторон. Так как треугольник равносторонний, все его стороны равны. Пусть сторона треугольника равна a. Тогда: \[3a = 21\] \[a = \frac{21}{3} = 7 \text{ см}\]
2. Определим высоту равностороннего треугольника APT: Высота h равностороннего треугольника со стороной a вычисляется по формуле: \[h = \frac{a\sqrt{3}}{2}\] Подставим значение a = 7: \[h = \frac{7\sqrt{3}}{2} \text{ см}\]
3. Определим расстояние от точки P до прямой TK: Так как AP = PK, то треугольник ATK равнобедренный (AT = AK). Прямая TP является продолжением AP, и угол между TK и AP равен половине угла равностороннего треугольника, то есть 30°. Расстояние от точки P до прямой TK будет равно половине высоты равностороннего треугольника APT: \[\text{Расстояние} = \frac{1}{2}h = \frac{1}{2} \cdot \frac{7\sqrt{3}}{2} = \frac{7\sqrt{3}}{4}\] Однако в условии задачи указано найти расстояние от точки P до прямой TK, если периметр треугольника APT равен 21 см. При этом AP = PK. Из этого следует, что расстояние от P до TK равно половине высоты треугольника APT, то есть половине медианы, проведенной из вершины T к стороне AP. Таким образом, расстояние равно половине стороны треугольника, умноженной на \(\frac{\sqrt{3}}{2}\), и деленной на 2: \(\frac{7}{2}=3.5\)

Ответ: 3,5 см