В18 Найдите произведение наибольшего целого числа неравенства log²₆(15-x) ≥ log₆(15-x).

Решим неравенство log²₆(15 - x) ≥ log₆(15 - x).

Пусть $$t = \log_6(15 - x)$$, тогда неравенство примет вид:

$$t^2 ≥ t$$

$$t^2 - t ≥ 0$$

$$t(t - 1) ≥ 0$$

Решениями являются:

$$t ≤ 0$$ или $$t ≥ 1$$

Возвращаемся к исходной переменной:

$$\log_6(15 - x) ≤ 0$$ или $$\log_6(15 - x) ≥ 1$$

Решаем первое неравенство:

$$\log_6(15 - x) ≤ 0$$

$$15 - x ≤ 6^0$$

$$15 - x ≤ 1$$

$$-x ≤ -14$$

$$x ≥ 14$$

С учетом ОДЗ: $$15 - x > 0$$, то есть $$x < 15$$.

Решением первого неравенства является $$x ∈ [14; 15)$$.

Решаем второе неравенство:

$$\log_6(15 - x) ≥ 1$$

$$15 - x ≥ 6^1$$

$$15 - x ≥ 6$$

$$-x ≥ -9$$

$$x ≤ 9$$

С учетом ОДЗ: $$15 - x > 0$$, то есть $$x < 15$$.

Решением второго неравенства является $$x ∈ (-∞; 9]$$.

Объединяем решения:

$$x ∈ (-∞; 9] ∪ [14; 15)$$.

Наибольшее целое число, удовлетворяющее неравенству, это 14.

Произведение наибольшего целого числа, то есть самого себя, равно:

$$14 \cdot 14 = 196$$

Ответ: 196