13) В некотором двузначном числе поменяли местами цифры в записи числа и полученное двузначное число сложили с исходным. В результате получили число, которое делится на 6. Сколько таких двузначных чисел? Выпишите все такие числа. Ответ обоснуйте.

Пусть двузначное число имеет вид $$\overline{ab}$$, где $$a$$ и $$b$$ - цифры от 0 до 9, и $$a
eq 0$$. Тогда число можно записать как $$10a + b$$. Если поменять цифры местами, получим число $$\overline{ba}$$, которое можно записать как $$10b + a$$. Сумма этих чисел равна: $$(10a + b) + (10b + a) = 11a + 11b = 11(a+b)$$ По условию, эта сумма делится на 6. Значит, $$11(a+b)$$ должно делиться на 6. Так как 11 не делится на 6, то $$(a+b)$$ должно делиться на 6. То есть, $$a+b = 6k$$, где k - целое число. Поскольку $$a$$ и $$b$$ - цифры, то $$a+b$$ может принимать значения от 1 (1+0, но a не может быть равно 0) до 18 (9+9). Значит, $$a+b$$ может быть равно 6, 12 или 18. 1. $$a+b = 6$$ Возможные пары (a, b): (1, 5), (2, 4), (3, 3), (4, 2), (5, 1), (6, 0) Получаем числа: 15, 24, 33, 42, 51, 60 2. $$a+b = 12$$ Возможные пары (a, b): (3, 9), (4, 8), (5, 7), (6, 6), (7, 5), (8, 4), (9, 3) Получаем числа: 39, 48, 57, 66, 75, 84, 93 3. $$a+b = 18$$ Возможная пара (a, b): (9, 9) Получаем число: 99 Всего таких чисел: 6 + 7 + 1 = 14 Ответ: 14 Числа: 15, 24, 33, 42, 51, 60, 39, 48, 57, 66, 75, 84, 93, 99 Разъяснение для ученика: Мы ищем такие двузначные числа, чтобы после перестановки цифр и сложения с исходным числом результат делился на 6. Мы выразили двузначное число в виде 10a + b, где a и b - его цифры. После перестановки цифр получили 10b + a. Сложив эти два числа, получили 11(a+b). Чтобы это число делилось на 6, сумма a+b должна делиться на 6 (потому что 11 на 6 не делится). Затем мы рассмотрели все возможные варианты для a+b (6, 12 и 18) и нашли все соответствующие двузначные числа.