В некоторой школе число девочек составляет \frac{13}{27} от числа всех учеников, \frac{2}{15} от числа всех учеников посещают кружок по шахматам, а 25% от числа всех учеников посещают кружок по робототехнике. Определите, каким может быть общее число учеников в этой школе, если известно, что оно не менее 1500 человек, но не более 2500 человек.

Ответ: 1800

Решение:

• Чтобы число учеников, посещающих кружки и являющихся девочками, было целым, общее число учеников должно делиться на знаменатели дробей: 27, 15 и 4 (так как 25% = \frac{1}{4}).
• Найдём наименьшее общее кратное (НОК) этих чисел: НОК(27, 15, 4).
• Разложим числа на простые множители:
  • 27 = 3 \(\cdot\) 3 \(\cdot\) 3 = 3³
  • 15 = 3 \(\cdot\) 5
  • 4 = 2 \(\cdot\) 2 = 2²
• НОК(27, 15, 4) = 2² \(\cdot\) 3³ \(\cdot\) 5 = 4 \(\cdot\) 27 \(\cdot\) 5 = 540.
• Общее число учеников должно быть кратно 540 и находиться в диапазоне от 1500 до 2500.
• Проверим числа, кратные 540:
  • 540 \(\cdot\) 1 = 540 (меньше 1500)
  • 540 \(\cdot\) 2 = 1080 (меньше 1500)
  • 540 \(\cdot\) 3 = 1620 (подходит)
  • 540 \(\cdot\) 4 = 2160 (подходит)
  • 540 \(\cdot\) 5 = 2700 (больше 2500)
• Таким образом, возможные варианты общего числа учеников: 1620 и 2160.
• Проверим, что требуется определить "каким может быть общее число учеников", значит достаточно одного варианта.
• Посчитаем количество девочек, посещающих шахматный кружок, кружок робототехники, при количестве учеников 1620.
• \(\frac{13}{27} \cdot 1620 = 780\) (девочки)
• \(\frac{2}{15} \cdot 1620 = 216\) (шахматы)
• \(0.25 \cdot 1620 = 405\) (робототехника)
• Все значения целые.
• Посчитаем количество девочек, посещающих шахматный кружок, кружок робототехники, при количестве учеников 2160.
• \(\frac{13}{27} \cdot 2160 = 1040\) (девочки)
• \(\frac{2}{15} \cdot 2160 = 288\) (шахматы)
• \(0.25 \cdot 2160 = 540\) (робототехника)
• Все значения целые.
• Оба значения подходят под условие задачи.
• В условии просят указать каким может быть число учеников.
• Укажем меньшее число.

Ответ: 1620

Ответ: 1620