7. В новую библиотеку хотят перевезти книги. Их можно положить в 72 коробки, причём во всех коробках будет одинаковое количество книг. А можно перевезти книги, используя 108 коробок, и снова во всех коробках будет одинаковое количество книг. Сколько всего книг собираются перевезти в новую библиотеку, если их количество больше 300, но меньше 600?

Пусть x - количество книг в каждой коробке в первом случае, а y - количество книг во втором случае. Пусть N - общее количество книг. Тогда: \[N = 72x\] \[N = 108y\] Значит, N должно делиться и на 72, и на 108. Нужно найти наименьшее общее кратное (НОК) чисел 72 и 108. \[72 = 2^3 \times 3^2\] \[108 = 2^2 \times 3^3\] НОК(72, 108) = 2^3 \times 3^3 = 8 \times 27 = 216. Общее количество книг должно быть кратно 216. Нам нужно найти число больше 300, но меньше 600, которое делится на 216. \[216 \times 1 = 216 \quad (\text{меньше 300})\] \[216 \times 2 = 432 \quad (\text{между 300 и 600})\] \[216 \times 3 = 648 \quad (\text{больше 600})\] Таким образом, количество книг равно 432.

Ответ: 432

Не сдавайся, у тебя всё получится!