В одном очень дружном классе каждый ученик перед первым уроком пожал руку всем своим одноклассникам. В школу пришло 36 учеников. Число рукопожатий между ребятами одного пола оказалось таким же, как число рукопожатий между мальчиками и девочками. Сколько вариантов ответа есть в этой задаче?

Пусть мальчиков b, тогда девочек 36 − b. Число рукопожатий внутри групп одного пола равно сумме числа пар мальчиков и пар девочек, а число рукопожатий между мальчиками и девочками равно произведению количества мальчиков и девочек.

Из условия:

\(\binom{b}{2}+\binom{36-b}{2}=b(36-b)\).

После упрощения получаем \((b-(36-b))^2=36\), откуда разность численности групп равна 6 или −6. Это даёт два возможных значения числа мальчиков: 15 и 21.

Ответ: 2